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Runge et son phénomène
Bonsoir tout le monde, j'ai un Dm sur les polynôme d'interpolations de Lagrange et j'ai quelques petit soucis dans mon exercice qui est :
f(x) = 1/(1+x2) et I = [-5,5]
Dx =10/n
et les points d'interpolations ont pour abscisses : xj=-5+jDx (et x0 = 0)
il faut montrer par récurrence que
f[xO,x1,....,xn,x] = f(x). [((-1)r+1)/
(1+xj2))].F
avec F = 1 si n = 2r+1
ou F = x si n = 2r
le produit ce fait sur j =0 à j= r
Il me disent de raisonner par récurrence, le souci c'est que ca devient rapidement des calcul très long et surtout ingérable. Je ne trouve pas la simplification possible
Indication donnée mais que je n'ai pas reussit a démontrer pour les meme raisons,
Utiliser la fonction g(x) = f[x1,....xm-1,x] et montrer que
f[x0,....,xm,x]=g[x0,xm,x]
J'aimerais juste savoir si il y'a un moyen simple qui ne prend pas des calculs de plusieurs lignes de longs
Merci d'avance
PS:f[x0,....,xm] := (f[x1,....,xm]-f[x0,...,xm-1])/(xm-x0)
f[x0,x1]:= (f[x1]-f[x0])/(x0-x1)
f[x]:=f(x)
désolé de réitérer ma demande mais je suis toujours coincé
De simples indactions ou suggestions m'aideront peut etre a tout résoudre.
De plus, n'hésitez pas à me dire si d'après vous l'énoncé est erroné (c'est une possibilité à ne pas exclure)
Merci
Salut.
Je viens de regarder un peu et... je n'ai pas la réponse !!! Mais je te donne mon raisonnement si ça peut t'avancer.
Je pars sur l'indication :
- je développe g[x0,xm,x] pour ne me retrouver qu'avec des différences divisées de f
- j'essaye de remonter dans l'autre sens pour retrouver des g et là j'ai un soucis !!
Ce qui m'embête c'est que dans la définition, g est indépendant de m (on n'a pas gm), donc quand je me retrouve avec g(xm), ben c'est bien joli mais je n'arrive pas à répercuter l'indice m dans l'écriture de f...
Je ne sais pas si je suis clair, mais je me demande quand même s'il n'y aurait pas une imprécision dans les notations.
Et sinon je ne sais pas si ça peut t'aider qqpart, mais pour les différences divisées, on peut modifier l'ordre des termes sans changer le résultat :
Si , alors quelle que soit la permutation
de S(E), alors :
Donc en clair quand tu as une relation, tu peux échanger les termes.
En espérant que j'apporte un peu d'eau à ton moulin...
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