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sans utiliser hopital

Posté par
sabaga 25-12-11 à 10:56

bonjour je voudrais utiliser autre méthode (sauf Règle de L'Hôpital)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2}\ln(x)-x+1}}{{{{\left({x-1}\right)}^2}}}=\frac{3}{2}\]

Posté par
gui_toure : sans utiliser hopital 25-12-11 à 11:49

Salut

changement de variable x=1+t puis développement limité

Posté par
sabagare : sans utiliser hopital 25-12-11 à 12:24

j'écris

\[x = t + 1 \Rightarrow \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}\ln (t + 1) - t}}{{{t^2}}} = \ln (t + 1) + 2\frac{{\ln (t + 1) - 0}}{{t - 0}} + \frac{{\ln (t + 1)}}{{{t^2}}} - \frac{1}{t}\]
et puis que-ce-que je peux faire?

Posté par
sabagare : sans utiliser hopital 25-12-11 à 12:59

\[\begin{array}{l} \\ \ln \left( {t + 1} \right) = t - \frac{{{t^2}}}{2} + {t^2}\varepsilon \left( t \right) \Rightarrow \frac{{\ln (t + 1)}}{{{t^2}}} - \frac{1}{t} =  - \frac{1}{2} + \varepsilon \left( t \right)\\ \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2}\ln x - x + 1}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}\ln (t + 1) - t}}{{4{t^2}}}\\ \\ = \frac{1}{4}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {\ln (t + 1) + 2\frac{{\ln (t + 1) - 0}}{{t - 0}} + \frac{{\ln (t + 1)}}{{{t^2}}} - \frac{1}{t}} \right];\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \varepsilon \left( t \right) = 0\\ \\ = \frac{1}{4}\left[ {\mathop {2\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\ln (t + 1) - 0}}{{t - 0}}} \right) - \frac{1}{2}} \right] = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : sans utiliser hopital 25-12-11 à 13:01

merci beaucoup  gui_tou à votre aide


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