Premièrement bonjour à tous et bonne année 2010.

Je suis un petit nouveau, vous excuserez donc l'écriture de ce message (je ne maitrise pas encore Latex et je ne sais pas par exemple insérer une accolade).

Voilà un petit problème pour une application personnelle (voilà pourquoi j'ai posté dans la zone calculatrice).
Je bute car je ne vois pas sur quel bout de ficelle je peux tirer pour dérouler ma bobine.

Voir le schéma joint.

Voici un "tétraèdre" un peu spécial formé par les points Cc, Ah, Ab, Pdt et T.
Je connais ses dimensions SH, AA, Vg, Int, Inc et Ext.
Le point T appartient et se déplace sur le segment Ah Pdt. Je note 't' la distance entre les points Pdt et T.
t est lui aussi connu.

On peut comparer ça au couvercle (Cc, Ah, Pdt)  d'un piano à queue formé par le plan (Cc, Ah, Ab) dont l'ouverture varie selon le point d'accroche (T) de sa "jambe" (T, Ab).

Je cherche à définir les coordonnées en x, y et z des points Pdt et T.
Le but est de développer une petite application sous exel qui en renseignant mes valeurs SH, AA, Vg, Int, Inc, Ext et t, calcule les coordonnées de Pdt et T.

J'arrive à déterminer les coordonnées de Pdt dans le cas particulier où t=0 (Pdt et T sont confondus) cas où la forme est un véritable Tétraèdre.
Il me faut une application générale où je peux faire varier t et donc mon point T.


Les coordonnées des points sont
    Cc(0,0,0) Ah (Xah,Yah,0) Ab (Vg,0,0)  Pdt (Xpt,Ypt,Zpt) et T (Xt,Yt,Zt)  

les inconnues sont Xpt, Ypt, Zpt, Xt, Yt, Zt

Voici ce que j'arrive à écrire :

Premièrement :
Xah étant la hauteur du triangle Cc, Ah, Ab
Xah = (AA² - Vg² - SH²) / 2Vg
Et Yah = racine (SH² - Xah²)

En raisonnant avec les longueurs des segments, j'arrive à ceci :
Int² = Xpt² + Ypt² + Zpt²
Ext² = (Xt - Vg)² + Yt² + Zt²
Inc² = (Xpt  -Xah)²+(Ypt - Yah)² + Zpt²
t² = (Xpt - Xt)² + (Ypt - Yt)² + (Zpt - Zt)²

De plus :
T appartiens à (Ah Pdt) donc Ah T = K Ah Pdt

Xt = K Xpt
Yt = K Ypt                      Avec K = (Inc - t) / Inc (K pourcentage du segment Ah Pdt)
Zt = K Zpt

En considérant l'équation de la droite D passant par Ah T et Pdt

                                                   Xpt - Xah
de vecteur directeur Ah Pdt           Ypt - Yah
                                                   Zpt

         X = Xah + (Xpt - Xah) E
D       Y = Yah + (Ypt - Yah) E  
         Z = Zpt E

T appartient à D donc
Xt = Xah + (Xpt - Xah) E
Yt = Yah + (Ypt - Yah) E
Zt = Zpt E


Donc
Xt = Xah + (Zt / Zpt ) (Xpt - Xah)
Yt = Yah + (Zt / Zpt ) (Ypt - Yah)

Ne trouvant pas d'autres relations, je me retrouve avec un système de 6 équations à 6 inconnues :

Int² = Xpt² + Ypt² + Zpt²
Ext² = (Xt - Vg)² + Yt² + Zt²
Inc² = (Xpt  -Xah)² + (Ypt - Yah)² + Zpt²
t² = (Xpt - Xt)² + (Ypt - Yt)² + (Zpt - Zt)²
Xt = Xah + (Zt / Zpt) (Xpt - Xah)
Yt = Yah + (Zt / Zpt) (Ypt - Yah)

Voilà où je coince.

Je n'arrive pas à extraire la première inconnue qui me permettrait de dérouler les autres.


Je pourrais dire que Zpt et Zt sont les distances des point Pdt et T de la droite par rapport au plan (Cc, Ah, Ab)

De la forme :
Soit le plan P et le point A dans l'espace. On appelle (xA,yA,zA) les coordonnées du point A et ax + by + cz + d = 0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, dA,P vaut :

CF deuxième image jointe

Mais les coefficients a, b et c dépendraient de Xpt, Ypt, Zpt, Xt, Yt, Zt ce qui ne m'avancerait pas à grand-chose (enfin je crois)
Faut il que je continue dans cette voie ?

Si vous avez des idées et des remarques, elles seront les bien venues. Merci d'avance.





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