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Posté par
alejo2705 05-11-09 à 18:52

Voilà l'objet de ma question :
Etudier la convergence de la suite de terme general :

((\frac{((2n)!)}{(n!n^n)}))^(\frac{1}{n})

( C'est puissance (1/n) ça s'est mal marqué )

Donc j'ai commencé par le mettre sous le forme exponentielle , notre prof nous a dit qu'il y'a une somme de Riemann à un instant mais j'arrive pas à developper le raisonnement. Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série 05-11-09 à 19:47

Bonsoir ;

je trouve 5$\blue\fbox{4e^{-1}} comme limite de la suite 4$n\to(\frac{(2n)!}{n!n^n})^{\frac{1}{n}}

et ce ne sont pas tout à fait des sommes de Riemann qu'on utilise pour y arriver !

vu que la fonction 4$x\to\ell nx n'est pas continue sur le segment [0,1]

néanmoins grâce à la monotonie de cette fonction et à la convergence de son intégrale sur ]0,1]

on peut montrer que 4$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n\ell n(\frac{k}{n})=\int_0^1\ell nxdx sauf erreur bien entendu

Posté par
alejo2705re 05-11-09 à 19:54

Merci Pour ta réponse mais c'est justement ce qui me manque le developpement parceque le résultat est juste il est bien de 4e^-1 ( la prof nous l'a donné) . Mais Après Je sais pas comment tu y es arrivé. Désolé du dérangement.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série 05-11-09 à 22:01

Pour 3$\fbox{n\in\mathbb{N}^*} notons 4$\fbox{a_n=\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}}}

il est alors clair que pour tout entier n\ge1 on a :

4$\fbox{\ell n(a_n)=\frac{1}{n}\left(\Bigsum_{k=1}^{2n}\ell n(k)\;-\;\Bigsum_{k=1}^{n}\ell n(k)\;-\;n\ell n(n)\;\right)}

qui s'écrit aussi :

4$\fbox{\ell n(a_n)=\frac{1}{n}\left(\Bigsum_{k=1}^{2n}\ell n(\frac{k}{n})\;-\;\Bigsum_{k=1}^{n}\ell n(\frac{k}{n})\;\right)}

ou encore :

4$\fbox{\ell n(a_n)=2\ell n2\;+\;\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{2n}\ell n(\frac{k}{2n})\;-\;\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}\ell n(\frac{k}{n})\;}

soit :

4$\fbox{\ell n(a_n)=2\ell n2\;+\;2S_{2n}\;-\;S_n\;} où 4$\fbox{S_n=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}\ell n(\frac{k}{n})\;}

si on montrer que 4$\fbox{S_n\;\displaystyle\to_{n\to+\infty}\;\int_0^1\ell nx\;dx=-1} on a le résultat souhaité sauf erreur bien entendu

Posté par
alejo2705re 05-11-09 à 22:52

Merci enormement pour votre réponse ! J'ai enfin compris

Bonne continuation et encore merci !


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