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Niveau Licence Maths 1e ann
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série, convergence et série de Bertrand

Posté par
mladele 21-04-09 à 00:12

bonjour,

encore et toujours des séries.

voici l'énoncé de mon exercice : (je préfère avancer point par point, pour mieux comprendre)
soit u_n une suite numérique décroissante à termes positifs.
soit v_n la série définie par :
v_n=2^nu_{2^n}

a) montrer que la série \sum(u) converge si et seulement si la série \sum(v) converge.
b) Application : Montrer que la série de Bertrand \Bigsum_{n\ge 2}\frac{1}{n(ln(n))^a} converge si et seulement si a>1

je suppose qu'on doit montrer l'équivalence entre ces deux affirmations (?).

si \sum(u) converge, cela signifie que la suite u_n converge car d'après le théorème, si une série converge alors les termes de cette série convergent vers 0.
si u_n converge vers 0 alors sa sous suite extraite u_{2^n} converge également vers 0 donc v_n converge aussi vers 0, mais comment montrer que \sum(v) converge?

pour montrer la convergence le prof ne veut pas qu'on utilise les règles de Cauchy ou d'Alembert...

si \sum(v) cela signifie que 2^nu_{2^n} converge vers une limite l proche de zéro (d'après le même théorème que ci dessus), soit :

|2^nu_{2^n}-l|<\varepsilon
peut on écrire alors que
|u_{2^n}-\frac {l}{2^n}|<\frac {\varepsilon}{2^n}
soit que
|u_{2^n}-0|< {\varepsilon}
ce qui entraine que u_n converge aussi?


merci de votre aide pour cette première partie.

M-Laure

Posté par
ottore : série, convergence et série de Bertrand 21-04-09 à 01:53

Bonjour,
je ne comprend pas du tout ce que tu fais, ca n'a pas vraiment de sens, on ne te demande pas de montrer que Un ou Vn converge, ca on le sait déjà, on te demande de montrer que la somme converge.

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 21-04-09 à 09:15

bonjour Otto,

il me semble qu'avant de montrer qu'une somme converge, il faut être sûr que ses termes convergent vers 0, non? (mais peut être que je me trompe).
c'est effectivement pour montrer que ces sommes convergent que je bloque...

merci.

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 21-04-09 à 22:23

bonjour,

décidément je n'arrive pas à décoller dans cet exercice.
je n'arrive pas à montrer l'équivalence de ces deux convergences...
si quelqu'un peut m'aider...
merci d'avance.

M-Laure

Posté par
girdavre : série, convergence et série de Bertrand 21-04-09 à 23:01

Bonsoir.
On a \lim_{n \to + \infty}\dfrac{u_n}{2^n u_{2n}} = 0 car la suite \left\( u_n\right\)est décroissante. Comme les deux séries sont à termes positifs la convergence de \sum_{v_n} va entraîner celle de \sum_{u_n}.

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 21-04-09 à 23:10

bonsoir,

est-ce possible d'avoir un peu plus de détails sur la démonstration... j'ai du mal à comprendre.
en plus la LaTeX est mal passé, et je ne sais pas de quelle limite il s'agit.
merci

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 22-04-09 à 00:43

salut

0nvi=u1+2u2+4u4+8u8+... u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7+u8+....+u15+...

car la suite u est décroissante

donc 0nv[/sub]i -u[sub]002[sup]n[/sup]ui-u0

donc si v cv alors u cv

Posté par
girdavre : série, convergence et série de Bertrand 22-04-09 à 09:31

Je voulais dire que \frac{u_n}{2^n u_{2n}} = 0
En effet, \forall n \in \mathbb{N} n \leq 2^n et comme la suite ( u_n ) est décroissante u_n \leq u_{2^n} donc 0 \leq \frac{u_n}{2^n u_{2n}} \leq \frac {1}{2^n}
Maintenant on écrit avec des quantificateurs que \frac{u_n}{v_n} =0 et on conclu avec le théorème de comparaison.
Mais là je démontre la même chose que carpediem: il faut montrer l'autre implication.

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 22-04-09 à 09:39

Bonjour à tous,

il y a un problème dans ta démo, girdav: la suite (u_n) étant décroissante, on a l'inégalité dans l'autre sens:

u_n\ge u_{2^n}, donc on ne peut pas conclure ainsi.

Ce qu'a écrit carpediem me paraît tout-à-fait convaincant pour ce qui est de cette implication.

Posté par
girdavre : série, convergence et série de Bertrand 22-04-09 à 10:14

Oups exact.
Désolé d'avoir posté cette erreur.

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 18:33

à mon avis pour l'autre sens il faut sortir l'artillerie "lourde" à coup de pas grand chose soit les et le critère de Cauchy

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 18:44

Non je ne pense pas, le critère de Cauchy ne sert à rien pour les suites croissantes, ou pour les séries de terme général positif...J'avais un peu regardé, mais n'étais pas parvenu à grand-chose...

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 19:02

u cv >0 N / p,q>N alors up+...+uq<

et montrer qu'on peut trouver M / s,t>M alors vs+...+vt<

et à mon avis M dépend de N (du genre en rapport avec ln(N)/ln(2))

j'ai pas mis de valeur absolue puisque tout est positif....

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 19:14

Hum, vraiment, je ne pense pas que ça puisse aboutir davantage qu'une majoration directe, les sommes partielles étant croissantes...

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 19:34

ouais moi aussi ça fait un bout de temps que je cogite la dessus mais j'arrive pas à grand-chose non plus

il nous faudrait l'aide de maitre Elhor très doué pour ce genre de chose



alors help Elhor  

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 20:49

bonjour,

je cherche toujours de mon côté, (même si j'ai l'air d'avoir abandonné le forum, mais on viens de me donner un remplacement de prof supplémentaire et je dois préparer quelques cours).

ne peut on pas chercher une majoration de u_n par u_{2^n} et donc par v_n/2^n (convergent) pour montrer la convergence de u_n ?

merci!

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 20:58

Salut mladele

Tu parles de quelle implication?

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 21:41

heu, je viens de me rendre compte que je parle de la même que celle qui a été démontrée...
désolée...

(ce doit être mes 9h de cours en plus des 5h cours + 18h soutien que je faisais déjà qui me perturbent le cerveau).

bon donc blocage au même point...

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 21:51

Tu es sûre que ce n'est pas n.u_n qui tend vers 0? Ce n'est pas facile!

(ce doit être mes 9h de cours en plus des 5h cours + 18h soutien que je faisais déjà qui me perturbent le cerveau).->Euh...T'as des journées de 32h??

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 21:58

naaaan, des semaines de 32h au collège en plus de ma vie de famille et de ma reprise d'étude...

l'énoncé exact est : soit u:=(u_n)_n une suite numérique décroissante à termes positifs, et soit v_n la suite définie par v_n=2^nu_{2^n}.

pour le reste j'avais recopié exactement l'énoncé.

donc non malheureusement ce n'est pas nu_n (ça aurait été tellement plus simple).

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 22:15

Bon en tout cas l'application du b) est facile!

Ouf tu me rassures, 32h par semaine c'est déjà plus raisonnable!! Même si ce n'est pas évident d'avoir 3 vies!

Posté par
ottore : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 22:39

Il me semble de mémoire que c'est la même idée que pour le critère de l'intégrale, une majoration a été donnée, la seconde de mémoire se déduit sur le même principe, mais en faisait un décallage sur les indices (comme pour le critère des intégrales).

Posté par
ottore : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 22:40

Je ferais les détails demain si personne n'a trouvé d'ici là, je sais que j'ai la solution quelque part. C'est un critère du à Cauchy me semble t'il (mais je peux me tromper).

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 22:53

Salut otto, c'est juste un décalage d'indices, vraiment? J'ai pourtant essayé, mais sans succès!

Par rapport à Cauchy, ça me surprendrait, puisqu'encore une fois les sommes partielles sont croissantes! Donc le critère de Cauchy ne peut rien apporter de plus qu'une majoration directe! Tu n'es pas d'accord?

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 22:56

grillé

c'est ce que j'essaie depuis.... mais le pb c'est qu'avant vn il n'y a pas 2n termes ui avant d'atteindre vn-1....??

Posté par
ottore : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 23:32

J'ai dit que le critère était du à Cauchy, pas que c'était le critère usuel de Cauchy avec les lim sup
Je dois quitter.
a+

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 23:35

Ah en effet, je t'avais mal lu! Bonne soirée et à demain!

Posté par
olive_68re : série, convergence et série de Bertrand 23-04-09 à 23:52

Ça a l'air d'être bien compliqué si même vous vous galerez :S  

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 00:03

oh non, il suffit d'avoir une bonne idée, le bon outil et de bien l'appliquer...mais je n'ai aucun des deux premiers

Posté par
olive_68re : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 00:05

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 00:37

Oh là là mais c'était tout bête, j'ai honte!

5$\displaystyle\blue\fbox{u_1+2u_2+4u_4+8u_8=u_1+2[u_2+2u_4+4u_8+...]\le u_1+2[u2+(u_3+u_4)+(u_5+u_6+u_7+u_8)+...]}


En formalisant un peu: 5$\displaystyle\red\fbox{\Bigsum_{k=2}^n2^ku_{2^k}=2[\Bigsum_{k=2}^n2^{k-1}u_{2^k}]}

Or pour tout k, il y a exactement 2^{k-1} termes de la suite de rangs compris entre 2^{k-1}+1 et 2^k , d'ù par décroissance:

5$\displaystyle\blue\fbox{ 2^{k-1}u_{2^k}\;\le\; \Bigsum_{l=2^{k-1}+1}^{2^k}\;u_l}

et en sommant sur k, il vient bien pour tout n :

5$\displaystyle\blue\fbox{\Bigsum_{k=1}^n2^ku_{2^k}\;\le\;u_1+\;2[\Bigsum_{l=2}^{2^n}\;u_l]\;\le\;2\Bigsum_{p=1}^{+\infty}\;u_p\;-\;u_1}\;<\;+\infty par hypothèse, donc c'est réglé!!

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 00:44

damned il suffisait de factoriser par 2 pour avoir le bon nombre de termes u entre 2 termes consécutifs v  



il me suffisait d'ouvrir les yeux mais bon il se fait tôt alors alors j'vais aller les fermer pour de bon


bone nuit

(jsuis à demi endormi la !!)

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 00:48

Bon petit problème d'indice dans ce que j'ai écrit, désolé. Je réécris ce qui doit être modifié:




5$\displaystyle\red\fbox{\Bigsum_{k=1}^n2^ku_{2^k}=2[\Bigsum_{k=1}^n2^{k-1}u_{2^k}]}




5$\displaystyle\blue\fbox{\Bigsum_{k=0}^n2^ku_{2^k}\;\le\;u_1+\;2[\Bigsum_{l=2}^{2^n}\;u_l]\;\le\;(2\Bigsum_{l=1}^{+\infty}\;u_l)\;-\;u_1\;<\;+\infty}


En espérant que ce soit bon cette fois (je fatigue!!)...

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 00:50

Citation :
damned il suffisait de factoriser par 2 pour avoir le bon nombre de termes u entre 2 termes consécutifs


-> Oui!!!


Citation :
il me suffisait d'ouvrir les yeux


-> Moi aussi!!

Posté par
olive_68re : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 01:32

Loool bah bien vu Greg

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 01:33

Merci! Dommage que mladele ne soit plus là!

Et bonne nuit sinon!

Posté par
olive_68re : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 01:35

Merci toi aussi

Posté par
carpediemsérie, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 13:36

salut tigweg et olive


commme quoi ce que je disais dans mon post de 00h03 se reflette dans cette recherche de la solution:
j'avais l'idée (sans la voir (voir mon post de 22h56)), je n'ai pas trouvé le bon outil (factoriser par 2 pourtant tout bête) et donc bien l'appliquer. pour majorer chaque v[sub]n par les 2n-1 termes ui qui sont avant...
[/sub]

voila un bel exemple de travail mathématique

Posté par
Tigweg Correcteurre : série, convergence et série de Bertrand 24-04-09 à 15:46

Entièrement d'accord avec toi, a posteriori on se dit qu'on y pensera la fois prochaie, et qu'il suffit de se poser la bonne question: ici, comment s'arranger pour avoir au plus autant de termes de la suite que ceux qui nous séparent de la prochaine puissance de 2...Mais comme à chaque fois, c'est une autre idée qu'il faut avoir, on n'est pas bien plus avancés lol!

Posté par
mladelere : série, convergence et série de Bertrand 12-05-09 à 20:33

bonjour,

désolée, suite à des problèmes de famille, je laisse tomber mes cours pour un moment.
je regarderais tout ça quand ça ira mieux.

je vous remercie en tous cas pour le mal que vous vous êtes donnés.

M-Laure


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