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série de fonctions

Posté par
Leitoo 26-11-09 à 20:05

Bonsoir.


Voilà, j'ai un petit exercice et je reste quelque peu bloqué.

Pour tout entier n ≥ 1 et x appartenant a [0;1] on définit

S_n(x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^n \frac{x^n}{n}-ln(1+x)

Je dois calculer ||Sn||_{_{\infty}} et que puis je en déduire.


Je dois dériver et étudier S_n(x) ou il y a plus simple ?

Merci d'avance.

Posté par
perroquetre : série de fonctions 26-11-09 à 20:48

(re)Bonjour, Leitoo

S'il s'agit de calculer explicitement la norme infinie de S_n, je ne vois pas d'autre moyen que de faire l'étude de la fonction S_n.
S'il s'agit de trouver un majorant de cette norme infinie qui tend vers 0, l'inégalité de Taylor-Lagrange est un bien meilleur outil.

Posté par
Leitoore : série de fonctions 26-11-09 à 21:33

Merci beaucoup pour ton aide.


Seulement lorsque je dérive, j'obtiens S_n'(x) = 1 - x + x^2 + ... + (-1)^n x^(n-1) - 1/(x-1)


Mais je ne vois pas comment étudier son signe...

Intuitivement, on voit que si n est pair, la fonction va croite, et inversement décroitre pour n impaire.

Je dirais ||S_n|| = S_n(1) pour n pair
       et ||S_n|| = S_n(0) pour n impair.


Merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : série de fonctions 26-11-09 à 21:47

Bonsoir Leitoo ;

Pour \fbox{t\in[0.1]} et \fbox{n\in\mathbb{N}^*} on commence par écrire : \fbox{1+(-t)+(-t)^2+...+(-t)^{n-1}=\frac{1-(-t)^n}{1-(-t)}} (somme des n premiers termes de la suite géométrique k\to(-t)^k)

qui s'écrit aussi : \fbox{1+(-t)+(-t)^2+...+(-t)^{n-1}-\frac{1}{1+t}=-\frac{(-t)^n}{1+t}}

puis en intégrant sur [0,x] pour x\in[0.1] on a : 3$\fbox{x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}-\ell n(1+x)=-\int_0^x\frac{(-t)^n}{1+t}dt} ou encore 4$\fbox{S_n(x)=(-1)^{n-1}\int_0^x\frac{t^n}{1+t}dt}

et il n'est alors pas difficile de voir que 4$\blue\fbox{||S_n||_{\infty}=\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|S_n(x)|=\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt} sauf erreur bien entendu



remarque :

il n'est pas difficile non plus de voir que \fbox{\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt\;\le\;\frac{1}{n+1}} et donc que la fonction x\to\ell n(1+x) est limite uniforme sur [0,1] de la série entière \Bigsum_{n\ge1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} .

Posté par
Leitoore : série de fonctions 26-11-09 à 22:13

Merci beaucoup pour ton aide elhor_abdelali.

Tout celà est très bien expliqué, j'ai bien compris =)

Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : série de fonctions 26-11-09 à 22:20

De rien Leitoo Bonne soirée !


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