Bonjour,

tu peux commencer par faire un petit dessin pour avoir une idée.

Tu as du voir que la suite de fonctions tend simplement vers la fonction identiquement nulle sur . S'il y a convergence uniforme ce sera donc vers .
En faisant une étude de variations de chaque , pour , tu peux montrer que ,et donc il n'y a pas convergence uniforme sur . De la même façon tu dois pouvoir montrer qu'il y a tout de même convergence uniforme sur , pour tout .

Pour tout n * soit f_n : x 1/sh(nx) de * vers .
1. Pour x 0 , 1/|sh(nx)| < +puisque  1/|sh(nx)|   2e^-n|x| (n + )La "série de fonctions de terme général f_n  (n > 0) " converge donc simplementsur * . On pose , pour x 0, f(x) = ₁⁺ 1/sh(nx) . On définit ainsi f : * .
Soient a> 0 et E(a) = \ [-a , a].  Pour tout n > 0 on a :
Sup{|f_n(x) | x E(a)} = 1/sh(na) terme général > 0 d'une série convergente .
La "série de fonctions de terme général f_n  (n > 0) " converge donc normalement (donc unifotmément) sur E(a).
Conséquences:
1.f est continue :
  Soit x   * . Soit a ]0 , |x|[ . f est continue sur E(a) ( les f_n y sont continues et F_n = f₁+...+f_n  y converge uniformément)
f est donc continue au point x .

2.Si pour n > 0 et x > 0 on pose g_n(x) = ₁^x f_n . La "série de fonctions de terme général g_n  (n > 0) " converge (au moins simplement) sur ₊* et si on pose g(x) = ₁⁺g_n(x) , g est dérivable et g ' = f .

au temps pour moi, j'avais pas vu le terme "série".