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Série de Fourier

Posté par
rickgoz 19-01-10 à 17:47

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant:

Soit f une fonction périodique de période 2 telle que


f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} cosx  &&0 < x \le \pi\\-cosx &&-\pi \le x < 0\\\end{array}

Et je dois prouver que la serie de fourier est

(8/)(m/(4m²-1)sin(2mx)

Je n'arrive pas du tout à ce résultat. Je pense que je me trompe car j'utilise la formule mais seulement sur l'intervalle [0;] avec f(x)=cosx.

Cependant vu que la fonction est impaire je peux dire que la série de Fourier est (bnsin(nx)) avec bn=2/T-T/2T/2f(x)sin(nx)dx

Mais lorsque j'applique cette méthode, je n'arrive pas au bon résultat.

Avez vous  une idée?

Merci d'avance.

Richard

Posté par
rhomarire : Série de Fourier 19-01-10 à 18:41

tu applique la formule a f(x)
f(x)=\frac{1}{\pi} \bigint_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx =\frac{1}{\pi} \bigint_{0}^{\pi} cos(x)sin(nx)dx + \frac {1}{\pi} \bigint_{-\pi}^{0} -cosx sin(nx)dx = \frac{2}{\pi} \bigint_{0}^{\pi} cos(x) sin(nx)dx (changemt  de var ) puis tu integre deux fois par partie tu retrouve le meme terme a terme multicatif pres
          

Posté par
rickgozre : Série de Fourier 19-01-10 à 19:02

Merci! J'ai exactement trouvé le même résultat merci beaucoup!

Seul petit truc, peux tu m'expliquer le changement de variable.

Merci d'avance.

Richard

Posté par
rickgozre : Série de Fourier 19-01-10 à 20:13

En faite je viens de me rendre compte que je ne trouve pas exactement pareil.

Je trouve que bn= (4n)/((n²-1))

Je l'ai fait deux fois mais je retombe toujours sur le même bn.

Une idée?

Merci d'avance

Posté par
rickgozre : Série de Fourier 19-01-10 à 20:16

Désolé. Je me suis trompé. C'est correct.

Mais puis-je avoir quand même les explications pour le changement de variable?

Merci beaucoup!

Posté par
rhomarire : Série de Fourier 19-01-10 à 20:34

pour le passage a la derniere ligne le chgt est X=-x tout simplement

Posté par
rickgozre : Série de Fourier 19-01-10 à 20:53

Merci beaucoup,

Juste pour être sur du raisonnement:

f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cosxsin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} -cosxsin(nx)dx

On pose X=-x \\ Donc -X=x donc -X=-\pi donc X=\pi. \\ Alors


f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cosxsin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{0} -cos(-X)sin(-nX)-dX

f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cosxsin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{0} -cos(X)-sin(nX)-dX

f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cosxsin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{0} cos(X)sin(nX)-dX

f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cosxsin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} cos(X)sin(nX)dX

f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} cosxsin(nx) dx

Est-ce le bon raisonnement pour le changement de variable?

Merci d'avance.

Posté par
rhomarire : Série de Fourier 19-01-10 à 21:09

  rectifications dans  tes expressions car ça prete a confusion
x varie entre -\pi  et 0 X varie entre \pi et 0 en faisant attention lorsque on fait sortir le - dans le produit ....

Posté par
rickgozre : Série de Fourier 19-01-10 à 21:25

Oui, et le - qui fait passer de 0 à c'est bien le - de dx=-dX n'est ce pas?


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