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Série divergente; suite des sommes partielles...

Posté par
Boulet 07-11-08 à 15:35

Bonjour a tous.
Je me tourne vers vous a nouveau parce que j'ai un petit soucis sur un execrice à une question...

Enoncé :

(un)n \ge 0 suite de réels strictement positifs
Pour n \ge0,
Sn= \sum_{k=0}^{n} (u_{k})  et   Rn= \sum_{k=n+1}^{+\infty} (u_{k})

1) Montrer que \Sigmaunconverge => \Sigma\frac{u_n}{S_n} converge.

2) Montrer que \Sigmaundiverge => \Sigma\frac{u_n}{S_n} diverge.

3) Montrer que \Sigmaunconverge => \Sigma\frac{u_n}{R_{n-1}} diverge


Ma question :
1) Ok
2) En partant de la complétude de IR et du fait que \Sigmaundiverge,
on a que (Sn) n'est pas de Cauchy.

Donc, si je ne me trompe pas,
\exists \epsilon > 0 \ \ \ \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ \exists p \in \mathbb{N},   un + ... +un+p\ge \epsilon

Maintenant, je n'aboutis pas à une minoration de \frac{u_n}{S_{n}} qui permettrait de répondre en disant qu'elle aussi n'est pas de Cauchy.
Je n'arrive en fait qu'à majorer \frac{u_n}{S_{n}} mais ca semble inutile.

3)J'imagine que ca fait aussi appel a la complétude mais pour le moment je planche sur le 2)...

Posté par
Nightmarere : Série divergente; suite des sommes partielles... 07-11-08 à 16:31

Salut

2) On écrit par exemple que :

3$\rm \(\Bigsum_{k=n}^{n+p} \frac{u_{k}}{S_{k}}\)\ge \frac{1}{S_{n+p}}\(\Bigsum_{k=n}^{n+p} u_{k}\).

Conclus en faisant tendre p vers +oo !

Posté par
Bouletre : Série divergente; suite des sommes partielles... 07-11-08 à 17:47

Je suis d'accord avec ton égalité ... mais je ne vois pas en quoi au passage a la limite elle permet de conclure.

\frac{1}{S_{n+p}} \sum_{k=n}^{n+p} (u_{k}) \longrightarrow \sum_{k=1}^{n-1} (u_{k}) qui est une constante positive.

Posté par
Bouletre : Série divergente; suite des sommes partielles... 07-11-08 à 17:49

Ma phrase logique, négation de la definition d'une suite de cauchy est peut être erronée ...  ca vient peut etre de la mon probleme.

Posté par
Nightmarere : Série divergente; suite des sommes partielles... 07-11-08 à 18:05

La limite lorsque p tend vers l'infini du membre de droite est 1 ! Le critère de Cauchy n'est donc pas vérifié. ta suite diverge !

Posté par
Bouletre : Série divergente; suite des sommes partielles... 07-11-08 à 20:29

FAut vraiement que j'apprenne a compter moi ... 0+1 = 1 en effet
Bon ben merci bien pour tout


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