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serie entiere

Posté par
DTB 31-01-09 à 20:29

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour un exeercice
f(x)=\sum_{n=1}^\infty((\sum_{k=1}^n 1/k) x^{2n+2}) /(n+1)(n+2) )
comment calculer f et en déduire \sum_{n=1}^\infty (\sum_{k=1}^n 1/k) /(n+1)(n+2) ?
j'avais pensé utilisé f" mais la somme des 1/k reste...
merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : serie entiere 31-01-09 à 23:03

Bonjour ;

Je calcule la somme 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{(n+1)(n+2)}} sans utiliser f :

si pour n\ge1 , on note 2$\fbox{H_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}} alors pour tout n\ge1 on peut écrire :

3$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{(k+1)(k+2)}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k+1}-\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k+2}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k+1}-\Bigsum_{k=2}^{n+1}\frac{H_{k-1}}{k+1}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k+1}-\Bigsum_{k=2}^{n+1}\frac{H_k-\frac{1}{k}}{k+1}\\\;\;\;=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k+1}-\Bigsum_{k=2}^{n+1}\frac{H_k}{k+1}+\Bigsum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{H_1}{2}-\frac{H_{n+1}}{n+2}+\Bigsum_{k=2}^{n+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{H_{n+1}}{n+2}-\frac{1}{n+2}}

et en faisant n\to+\infty on voit que 4$\red\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{(n+1)(n+2)}=1} sauf erreur bien entendu

Posté par
jandri Correcteurre : serie entiere 01-02-09 à 10:15

Bonjour,

On peut utiliser f ou mieux, on pose f(x)=g(x2) avec: 3${g(x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n x^{n+1}}{(n+1)(n+2)}} et H_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.
Le rayon de convergence vaut 1 donc pour |x|<1 on peut dériver deux fois xg(x):
3${(xg(x))''=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}H_n x^n=\frac{-\ln(1-x)}{1-x}} (par produit de Cauchy) d'où en intégrant deux fois:
xg(x)=x+(1-x)\ln(1-x)-\frac{(1-x)}2(\ln(1-x))^2.
Comme la série donnant f(x) converge normalement sur [0,1], f est continue en 1 et f(1)=\lim_{x\mapsto1}xg(x)=1.

Posté par
gui_toure : serie entiere 01-02-09 à 12:25

Bonjour,

Très belle solutions, elhor et jandri !

Posté par
DTBre : serie entiere 01-02-09 à 13:05

merci pour vos solutions , pour trouver f(x) il suffit de faire x*g(x^2)/x ?

Posté par
jandri Correcteurre : serie entiere 01-02-09 à 15:54

Avec mes notations, 3${f(x)=g(x^2)=1+\frac{(1-x^2)}{x^2}\ln(1-x^2)-\frac{(1-x^2)}{2x^2}(\ln(1-x^2))^2}.


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