franchemen des potes et moi on a chercher mais impossible de trouver ...

Bonsoir,

C'est un classique, il faut appliquer la règle de D'Alembert à la série.
Commence d'abord par k = 1 pour fixer les idées :
U_n(z) = a_nzⁿ
U_n+1(z) =_an+1zⁿ⁺¹
|U_n+1(z)/U_n(z)| = |a_n+1/a_n||z|
pose L = lim|a_n+1/a_n|, il vient :
lim|U_n+1(z)/U_n(z)| = lim|a_n+1/a_n||z| = L|z|
Le crirère de d'Alembert impose que cette limite soit < 1, donc
R = 1/L
Maintenant, le cas k > 1, plus subtil. Pour fixer les idées et éviter de manipuler plein d'indices, on va faire k = 3. Tu as alors a_n+3/a_n = (a_n+3)/(a_n+2)(a_n+2/a_n+1)(a_n+1/a_n).
C'est là où je ne suis pas totalement sûr de moi. Si a_n+1/a_n tend vers une limite M, alors on a L = M³, d'où M = L^1/3, et R = L^-1/3.
Et dans le cas général, R = L^-1/k
Maintenant, c'est la réciproque que je ne vois pas encore bien : est-ce que la convergence de a_n+k/a_n implique nécessairement celle de a_n+1/a_n ?
J'ai l'impression que oui, mais l'expérience m'a appris à me méfier de mes impressions...

Une autre façon de voir serait de considérer k sous-séries. Je reprends l'argument avec k = 3 :
S1 = a₀ + a₃z³ + a₆z⁶ +...
S2 = a₁z + a₄z⁴ + a₇z⁷ +...
S3 = a₂z² + a₅z⁵ + a₈z⁸ +...

Ces 3 séries sont telles que, toujours en appliquant le critère de D'Alembert, le quotient de 2 termes consécutifs est de la forme (a_n+3/a_n)z³.
Si a_n+3/a_n tend vers L, alors le critère de D'Alembert impose
L|z³| < 1, d'où LR³ = 1, d'où R = L^-1/3
Et dans le cas général, R = L^-1/k

La conclusion est que les k sous-séries ont le même rayon de convergence. D'après un résultat classique sur la somme de plusieurs séries entières, si les séries ont le même rayon, le rayon de la somme est supérieur ou égal au rayon commun de chaque sous-série. Il faut montrer que ce "supérieur ou égal" est ici un "égal". C'est aussi un résultat classique dans le cas de ce qu'on appelle des sommes de séries "disjointes". On appelle ainsi les sommes de séries où, pour chaque puissance de n, une seule série contribue à former le terme a_nzⁿ, ce qui est bien le cas ici. Sur ce sujet, voir par exemple le cours de Monier, Analyse, Tome 4.

Merci de ton aide je vais essayer de le refaire merci beaucoup.

C'était un plaisir, et ça m'intéresserait beaucoup d'avoir un retour sur la démo qui sera proposée par ton prof...