Bonsoir.

Un "aperçu" avant de poster, c'est quand même simple.

Je pense que tu veux étudier, pour tout x réel, la série de terme général u_n(x) = (-1)ⁿ.nx²ⁿ⁺¹/(2n+1) ( n 0)?

.1.On commence par voir pour quels x la suite  n   (-1)ⁿ.nxⁿ/(n+1) tend vers 0. (Pour les autres la série diverge)
    Ici : Si x 0 , |u_n(x)| |x|²ⁿ⁺¹/2 donc on peut déjà dire que si |x| 1 la série diverge.
Soit donc x un réel tel que 0 < |x| < 1 .
  On essaie alors de se servir du th : "AC c"
  On aime bien D'Alembert; donc on regarde |u_n+1(x)|/|u_n(x)| . Ca tend vers |x²| < 1 donc la série est AC donc C.
On peut donc déjà dire que la série de fonctions u_n (n 0) ne converge simplement que sur ]-1 , +1[ .Pour |x| < 1 on désigne par f(x) sa somme.
2.On essaie de voir quelles propriétés des u_n "passent" à f.

Avant de continuer, dis nous si ce que je te raconte répond à tes inquiétudes (et si c'est bien sur cet exemple que tu veux voir comment on peut faire.

Bonsoir MONOHA,

De manière générale:

La convergence simple, c'est tout simplement la même étude que les série normales à x donné. Tu appliques les critères que tu utilisais avec les séries sauf qu'ici, tu dois tenir compte de ton x qui intervient dans le terme général.

La convergence absolue c'est la convergence simple mais avec le terme général en valeur absolue. Si ta série est a termes positifs (ou termes de signe constant quelconque), ça revient au même que la convergence simple. Si elle s'alterne en signe, les valeurs absolue changent la série évidemment.

La convergence uniforme c'est, intuitivement, la convergence de la série avec le même "epsilonnage" quelque soit x. ça veut dire que tes sommes partielles convergent vers la série d'une certaine façon qui est indépendante du x considéré. On démontre que la convergence uniforme d'une suite (dépendant de n et x) est équivalente à la convergence vers 0 de sup {u(n,x) - l} sur l'ensemble ou x est considéré. Si cette quantité tend vers 0 alors la suite converge uniformément. Dans la pratique, il suffit de l'appliquer aux sommes partielles de séries.

La convergence normale, c'est la convergence de la série de terme général sup{ |u(n;x)| } sur l'ensemble ou x est considéré. Le terme ne dépend plus que de n.

Donc au vu des définitions, il est facile de voir qu'elles sont plus ou moins liées. Certaines impliquent d'autres. Donc tu as avantage a commencer par faire les plus intéressantes pour que les autres s'en déduisent sans effort. En fait, on a:

CVN => CVU et CVN => CVA => CVS