Niveau Licence Maths 1e ann

Série entière

Posté par
Dcamd 26-12-09 à 17:33

Bonjour,

Je dois calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière :

$\sum \frac{(-1)^n}{2n-1}x^2n$

Pour le rayon, je pense que c'est OK.

La série définie est une série entière de la forme $\sum a_kx^k$
-> $a_k=\frac{(-1)^n}{2n-1}x^2n$ s'il existe n tel que k=2n
-> Sinon $a_k=0$

On applique le critère de Cauchy :

$3$|a_k|^{1/k}=(\frac{1}{2n-1})^{\frac{1}{2n}}=(\frac{1}{2n})^{\frac{1}{2n}}\times$\frac{1}{1-\frac{1}{2n}}$^{\frac{1}{2n}$
Le premier terme tend vers 1. (puissance 0) (0⁰=1; c'est OK ?)
Le second tend vers 1.
Donc R=1

Voilà par contre, pour le calcul de la somme je ne sais pas trop comment faire.

Merci par avance

Dcamd

Posté par re : Série entière 26-12-09 à 17:45

Bonjour.

$3$\textrm f(x) = \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{(-1)^nx^{2n}}{2n-1} = x\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{(-1)^nx^{2n-1}}{2n-1} = xh(x)$

$3$\textrm h(x) = \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\fra{(-1)^nx^{2n-1}}{2n-1}$

$3$\textrm h^'(x) = -\Bigsum_{n=1}^{+\infty}(-x^2)^{n-1} = - \fra{1}{1+x^2}$

Posté par re : Série entière 26-12-09 à 17:54

Merci Beaucoup Raymond.

Je ne voyais pas comment faire. Merci.

Là, c'est clair !

Bonne soirée.

Posté par re : Série entière 26-12-09 à 17:57

Bonne soirée. Termine bien 2009.

Posté par re : Série entière 26-12-09 à 18:09

Merci !
Vous aussi
Bonnes fêtes !!!

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