Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Série entiere arctan |x + 1/(3)^(1/2)]
Bonjour, je travaille sur les séries entieres et je suis tombé sur un exercice :
Je dois développer en série entiere arctan ( x + 1/
dois-je dériver l'expression??
Merci d'avance pour votre aide
Autant demander le DSE de f: x 
arctan(x - a) qui est dérivable et dont la dérivée est f ' : x 1/(1 + (x - a)2)
La fraction rationnelle 1/(1 + (X - a)2) se décompose en u/(1 - (X/(a + i))) + u*/(1 - (X/(a - i))) (où u* est le conjugué de u et u =....
Pour |x| < R = (1 + a2)1/2 = |a + i| = |a - i| , la séries de terme général xn/(a + i)n (resp. xn/(a - i)n ) ( n 
0 ) converge et sa somme est (1/1 - (x/(a + i))) (resp. (1/1 - (x/(a + i))) .
Tu va obtenir ainsi un DSE de f ' (autour de 0 , avec R pour rayon)
Si a + i = Reit (où t 
) on obtient (sauf erreur ) 
n0 xnsin((n+1)t)/(a2 + 1)n+1 = 1/(1 + (x - a)2) = f '(x)
Donc pour |x| < R , f(x) = c + n0 xn+1sin((n+1)t)/(n + 1)(a2 + 1)n+1 où c = f(0) = arctan(-a)
Dans ton exo : a = -3-1/2 , f(o) = 
/6 , R = 2/
3 et on peut prendre t = 5/6
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac