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Série entière - Convergence.

Posté par
Dcamd 25-12-09 à 20:52

Bonsoir,

Comment calculer le rayon de convergence d'une série de terme général :

cos(n)zn

Merci d'avance

Dcamd

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 20:54

Bonsoir Dcamd,

Lemme d'Abel + majoration

Posté par
ottore : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 20:54

Bonjour,
pour z >= ? ta série diverge grossièrement (c'est relativement simple).

Pour z <= ? ta série converge absolument (c'est trivial).

Quel est ce ?

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 20:55

Bonsoir otto

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 20:59

Bonsoir Gui_tou Bonsoir Otto

cos(n) zn <= zn

Lemme d'Abel :
Pour |z| < 1 ; convergence absolument ;   donc R >=1 (??)
Pour |z| >= 1 ; divergence;   donc R <= 1 ( ???)

Donc R=1

Comme cela ??

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 21:31

C'est exact

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 21:32

Question bonus : expression simple de la somme de la série entière 3$\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\cos(n)z^n

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 21:50

Merci Gui_tou.

Je ne vois pas trop pour la question bonus...

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 21:55

Reviens à la somme partielle, et écris 3$\cos(n)=\scr{Re}(e^{in})

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:07

\sum_{n=0}^N cos(n)z^n = \sum_{n=0}^N Re(e^{in})z^n
\sum_{n=0}^N Re(e^{i}^n)z^n
\sum_{n=0}^N Re(({e^{i}z})^n)

C'est correct jusqu'ici ? (j'ai un doute )

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:17

Oui c'est très bien. Maintenant, on peut dire que la somme des parties réelles est la partie réelle de la somme, et faire apparaître une belle suite géométrique.

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:23

Cool Merci.

\sum_{n=0}^N Re((e^{i}z)^n)

Re(\sum_{n=0}^N (e^{i}z)^n)

3$Re(\frac{1-(e^{i}z)^{n+1}}{1-(e^{i}z)})

On peut allez plus loin ?

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:26

Ouep. On arrange la fraction pour faire apparaître sa partie réelle (on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, 1+zei).

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:33

3$Re\(\frac{(1-(e^{i}z)^{n+1})(1+(e^{i}z))}{(1-(e^{i}z))(1+(e^{i}z))}\)
3$Re\(\frac{(1-(e^{i}z)^{n+1})(1+(e^{i}z))}{(1-(e^{2i}z^2))}\)

Je ne sais pas trop comment faire ensuite... ?
?

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:37

Ah oups je me suis trompé.

Le conjugué de 1-zei n'est pas 1+zei !

1-z.ei = 1-z.cos(1) - i.z.sin(1) dont le conjugué est 1-z.cos(1) + i.z.sin(1)

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:45

Okkkk Et moi j'avais pas vu non plus !

3$Re\(\frac{(1-(e^{i}z)^{n+1})(1-(e^{-i}z))}{(1-(e^{i}z))(1-(e^{-i}z))}\)
3$Re\(\frac{(1-(e^{i}z)^{n+1})(1-(e^{-i}z))}{(1-(e^{2i}z^2))}\)

Là, ça se voit que j'en ai pas fait beaucoup de calculs avec les parties réelles et les conjugués de complexes ... N'est-ce pas ?
Je ne sais pas trop où je vais ... lol

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 25-12-09 à 22:48

L'objectif du fait de multiplier par l'expression conjuguée est de faire disparaître le " i " du dénominateur

Donc reprends le calcul, en écrivant les ei qqchose sous forme trigonométrique.

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 26-12-09 à 00:26

Après calculs, je trouve pour le dénominateur : 2(1-cos1)z
Est-ce bon ?

Posté par
gui_toure : Série entière - Convergence. 26-12-09 à 19:37

3$S_n=\Bigsum_{k=0}^n(ze^i)^k={4$\fr{1-(ze^i)^{n+1}}{1-z e^i}}={4$\fr{1-z^{n+1}\cos(n+1)-i.z^{n+1}\sin(n+1)}{1-z\cos(1)-i.z\sin(1)} pour 3$ze^i\not=1

3$S_n={4$\fr{\(1-z^{n+1}\cos(n+1)-i.z^{n+1}\sin(n+1)\)\(1-z\cos(1)+i.z\sin(1)\)}{\(1-z\cos(1)-i.z\sin(1)\)\(1-z\cos(1)+i.z\sin(1)\)}

3$S_n={4$\fr{1-z^{n+1}\cos(n+1)-z\cos(1)+z^{n+2}\cos(1)\cos(n+1)+z^{n+2}\sin(1)\sin(n+1)}{(1-z\cos(1))^2+z^2\sin^2(1)}}+i\times(\rm{qq chose})

Donc 3$\scr{Re}(S_n)={4$\fr{1-z^{n+1}\cos(n+1)-z\cos(1)+z^{n+2}\cos(1)\cos(n+1)+z^{n+2}\sin(1)\sin(n+1)}{(1-z\cos(1))^2+z^2\sin^2(1)}}

Or le rayon de convergence de la série entière est 1, donc 3$|z|<1.

Ainsi, 3$\lim_{n\to+\infty}\ \scr{Re}(S_n)={4$\fr{1-z\cos(1)}{(1-z\cos(1))^2+z^2\sin^2(1)}}={4$\fr{1-z\cos(1)}{z^2-2z\cos(1)+1}}

3$\fbox{\fbox{\forall |z|<1,\;\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\cos(n)z^n\ =\ {4$\fr{1-z\cos(1)}{z^2-2z\cos(1)+1}}

On peut facilement généraliser avec 3$\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\cos(nx)z^n ou bien avec un sinus.

Sauf erreur

Posté par
Dcamdre : Série entière - Convergence. 26-12-09 à 20:24

Oui, j'étais loin

Merci Beaucoup pour ton coup de pouce

@ la prochaine Gui_tou !

Et Bonnes Fêtes !!!  


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