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série et exponetielle

Posté par
robby3 21-10-08 à 16:09

Bonjour tout le monde,j'ai quelques difficultés avec cet exo:

Soit (a_n)_{n\ge 1} une suite réels tel que 0\le a_n<1

a)Montrer que \Bigsum a_n et \Bigsum {\frac{a_n}{1-a_n} sont de meme nature(ok)
b)P_n=\Bigprod_{i=1}^n (1+ai)
vérifier que:

a_1+...+a_n\le P_n\le exp(a_1+...+a_n)
en déduire que (P_n)_n converge ssi \Bigsum a_n converge

c)Soit Q_n=\Bigprod_{i=1}^n \frac{1}{1-a_i}
Montrer que Q_n converge ssi \Bigsum a_n converge.


alors pour le b) y-a t-il une autre maniere de vérifier l'inégalité que par récurrence?
pour le en déduire,je voudrais savoir comment justifier correctement que si \Bigsum a_n converge alors exp(\Bigsum a_n) converge...

pour la c),j'ai tenté de me servir de a) et b) mais j'arrive à rien de bien

Merci d'avance de votre aide!

Posté par
Nightmarere : série et exponetielle 21-10-08 à 16:16

Salut

Il suffit de passer au log et d'utiliser les propriétés sur celui-ci !

3$\rm ln(P_{n})=\Bigsum_{i=1}^{n} ln(1+a_{i})

Pour la justification, quel est le problème? On compose par une fonction continue, donc séquentiellement continue !

Posté par
Nightmarere : série et exponetielle 21-10-08 à 16:18

Pour la c), utilise le fait que si la série des (an) converge alors (an) tend vers 0. On a alors un équivalent simple de ln(1-ai)

Posté par
robby3re : série et exponetielle 21-10-08 à 16:26

bonjour Nightmare

Citation :
Il suffit de passer au log et d'utiliser les propriétés sur celui-ci !

>c'était mon idée au départ! mais
quand j'ai vu \Bigsum_{i=1}^n ln(1+a_i)\le \Bigsum_{i=1}^n a_i,j'ai eu un bug,mais en fait c'est bon!

Citation :
Pour la justification, quel est le problème? On compose par une fonction continue, donc séquentiellement continue !

>oui

Citation :
Pour la c), utilise le fait que si la série des (an) converge alors (an) tend vers 0. On a alors un équivalent simple de ln(1-ai)

oui:ça montre <=
pour l'autre coté,il doit bien y avoir un rapport avec ce qu'on fait avant non?

Posté par
robby3re : série et exponetielle 21-10-08 à 17:55

Si Q_n converge,\Bigsum_{i=1}^n \frac{1}{1-a_i} converge
or a_i<\frac{1}{1-a_i} donc c'est ok?

Posté par
Nightmarere : série et exponetielle 21-10-08 à 18:53

pourquoi ta somme convergerait?

Plutôt, si Qn converge, alors la série de terme général ln(1-un) converge. Il suffit de montrer que cela implique que la série des (un) converge.

Posté par
robby3re : série et exponetielle 21-10-08 à 19:22

oui pardon,je me suis mélangé les symboles!

en fait on a -ln(1-a_i)\ge a_i
ok?

Posté par
Nightmarere : série et exponetielle 21-10-08 à 19:26

Oui

Posté par
robby3re : série et exponetielle 21-10-08 à 20:26

Encore merci Nightmare


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