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Série et restes divergents

Posté par
robby3 21-10-08 à 18:30

Bonsoir,je bloque sur cet exo:


Soit (U_n) une suite à termes positifs(strictements)
pour tout n\ge 0, S_n=\Bigsum_{k=0}^n u_k

1)Montrer que si \Bigsum u_n converge alors \Bigsum \frac{u_n}{S_n} converge(ok)
2)montrer que si \Bigsum u_n diverge alors \Bigsum \frac{u_n}{S_n} diverge(ok)
3)on suppose de nouveau que \Bigsum u_n converge on pose R_n=\Bigsum_{k\ge n+1} u_k
montrer que la série \Bigsum \frac{u_n}{R_{n-1}} diverge
4)Déduire de 2) qu'il existe une suite (\epsilon_n) positive et tendant vers 0 telle que \Bigsum \epsilon_n.a_n converge.

je bloque à la 3) et 4)
pour la 4) je sais pas trop quoi dire,si je pose \epsilon_n=\frac{1}{S_n} ça fonctionne!

pour 3)j'essaie de montrer que \rm \large \Bigsum_{k=p}^q \frac{u_k}{R_{k-1}}\ge \frac{1}{2}(pour q assez grand) et conclure en disant que ça ne vérifie pas le critere de Cauchy,mais je bloque:
je trouve que \Bigsum_{k=p}^q \frac{u_k}{R_{k-1}}\ge \frac{R_{p-1}-R_q}{R_{q-1}}...

des idées?

Posté par
Nightmarere : Série et restes divergents 21-10-08 à 18:49

Salut

On a 3$\rm \Bigsum_{k=n}^{n+p} \frac{u_{k}}{R_{k}}\ge \frac{1}{R_{n}}\Bigsum_{k=n}^{n+p} u_{n}

Et pour n fixé on a :
3$\rm \lim_{p\to +\infty} \frac{1}{R_{n}} \(\Bigsum_{k=n}^{n+p} u_{k}\)=1

Le critère de Cauchy n'eest pas vérifié.

Posté par
Nightmarere : Série et restes divergents 21-10-08 à 18:51

pour la 4, qu'est-ce que an?

Posté par
robby3re : Série et restes divergents 21-10-08 à 19:28

pardon,pour la 4) c'est u_n
(décidément,je suis completement à coté de la plaque ce soir! )

et bon ok pour la 3)

Merci Nightmare!
bonne soirée
(désolé pour toutes les étourderies! )


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