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série et suite
Bonjour à toutes et à tous
J'ai un exo de colle qui me donne du fil à retordre.
Voilà:
Soit la série Un (désolé je ne sais pas mettre sous forme de maths)
où Un est définie par la donnée de Uo dans [0,1] et la relation Un+1 = Un - Un^2
1/ lim Un en + infini?
2/ Nature de la série Un^2
3/Etude de la suite de terme général (1/Un) - (1/Un+1)
4/ Nature de la série Un
et enfin 5/ Nature de la série ln(Un+1/Un)
Pour la 1/ je trouve que la lim en + infini est 0
Pour la 2/ j'ai Un^2 = Un - Un+1
avec la 1/ est ce que je peux en conclure que la série Un^2 converge?
Merci pour vos réponses
J'ai étudié la fonction f(x) = x - x^2 avec le tableau de variation
pui la fonction g(x) = f(x) - x
puis par unicité de la lim on trouve 0
Pourquoi elle n'éxisterait pas?
on a g qui est décroissant
g(0)=0=f(0)=f(1)
Un est dans [0,1]
f(Un) est dans [0,1]
donc lim existe
Pourquoi elle n'éxisterait pas?
j'adore !
prend v(n+1)=1-v(n) avec v(0) dans [0;1]
et fais le même raisonnement !
bon, bref, à la première question on te demande d'étudier la convergence de la suite
Alors démontre proprement qu'elle converge et que sa limite vaut 0.
ensuite on verra
donc voici le plan de vol :
1)
montrer que u(n) est toujours dans [0,1]
que u décroit
que u converge
que sa limite (qui existe maintenant !) vaut 0
2)
la somme partielle de cette série est télescopique...
Pour la 3/ je trouve que la suite tend vers 0 en faisant la même étude que pour la 1/
Pour la 4/ est-ce que je peux dire que comme la suite de la 3/ converge vers 0 la série Un converge vers 0?
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