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Série n*x^n

Posté par
theboss1er 28-06-09 à 12:26

Bonjour,

je n'arrive pas à exprimer la somme de cette série : Série n*x^n

Peux-t-on le faire directement, sans questions intermédiares ??

Merci d'avance

a++

Posté par
gui_toure : Série n*x^n 28-06-09 à 12:28

Saloute theboss1er,

Reconnais une dérivée quelque part

Posté par
amauryxiv2re : Série n*x^n 28-06-09 à 12:29

Tu mets x en facteur, et tu intègres .... Ca porte sur les séries entières, je suppose.

Posté par
theboss1erre : Série n*x^n 28-06-09 à 12:35

oui effectivement

Merci !!

Pour ceux que ça intéresse : Série n*x^n

a+

Posté par
ottore : Série n*x^n 28-06-09 à 15:45

Il faut quand même justifier que tu as le droit.
Suivant ton avancement dans l'année, c'est plus ou moins évident...

Posté par
theboss1erre : Série n*x^n 28-06-09 à 16:41

vu qu'on est dans l'intervalle de convergence on a convergence normale

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série n*x^n 29-06-09 à 12:11

On peut aussi le montrer de la maniére (élémentaire) suivante : pour n\in\mathbb{N}^* et z\in\mathbb{C} on a ,

4$\fbox{(1-z)\Bigsum_{k=1}^nkz^k=\Bigsum_{k=1}^nkz^k-\Bigsum_{k=1}^nkz^{k+1}=\Bigsum_{k=1}^nkz^k-\Bigsum_{k=1}^{n+1}(k-1)z^k=\Bigsum_{k=1}^nz^k\;-\;nz^{n+1}}

d'où si z\neq1 on a 4$\fbox{\Bigsum_{k=1}^nkz^k=\frac{z-z^{n+1}}{(1-z)^2}\;-\;\frac{nz^{n+1}}{1-z}=\frac{z}{(1-z)^2}\;-\;(n+1)z^{n+1}\frac{1-\frac{n}{n+1}z}{(1-z)^2}}

et on voit bien que si 3$\blue\fbox{|z|<1} on a 5$\red\fbox{\Bigsum_{k=1}^{+\infty}kz^k=\frac{z}{(1-z)^2}} sauf erreur bien entendu



remarque : la fonction z\to\frac{z}{(1-z)^2} est définie (voir même analytique) sur tout l'ouvert \mathbb{C}-\{1\}

alors que le domaine de convergence de la série entière \Bigsum_nnz^n n'est que le disque unité ouvert de \mathbb{C} .

Posté par
theboss1erre : Série n*x^n 03-07-09 à 00:40

Preuve très élégante Bravo !

Concernant la remarque, est-ce ceci que l'on appelle "prolongement analytique" ?

Posté par
ottore : Série n*x^n 03-07-09 à 01:01

Le prolongement analytique est quelque chose d'un peu compliqué à définir, mais grosso modo si tu as une fonction analytique f définie sur un domaine D et une fonction analytique g définie sur un domaine D' et que sur D inter D' f et g coincident, on dit que g est un prolongement analytique de f sur D'.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série n*x^n 03-07-09 à 02:27

avec les notations de otto (que je salue ) si on note f la somme de la série entiére \Bigsum_{n\ge1}nz^n , D le disque unité ouvert de \mathbb{C}

g la fonction z\to\frac{z}{(1-z)^2} et D^'=\mathbb{C}-\{1\} on a :

- f holomorphe (donc analytique) sur D

- g holomorphe (donc analytique) sur D^'

- f=g sur D

donc oui : g est le prolongement analytique de f à \mathbb{C}-\{1\} sauf erreur bien entendu

Posté par
theboss1erre : Série n*x^n 03-07-09 à 10:44

Merci bien


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