Bonjour,

Je ne suis pas d'accord avec ce qu'on te demande de prouver :
Tu peux écrire Un = (aⁿ+1-1)/(1-aⁿ) = 1/(1-aⁿ) - 1
Si |a| < 1, alors aⁿ tend vers 0, et Un tend vers 1-1 = 0
Si |a| > 1, alors |aⁿ| tend vers +oo, 1/(1-aⁿ) tend vers 0, et Un tend vers -1
Si a = -1, alors 1 terme sur 2 de la suite n'est pas définie
Si a = 1, alors aucun terme de la suite n'est défini

Bonjour,
j'ai fait une erreur su l'énoncé :" divege si |a|> 1 "

Comment étudier la série suivant les valeurs de a?

Désolé, on parlait de série et pas de suite...
C'est tout de même pas perdu, je reprends :
- on oublie les cas triviaux a = 1 et a = -1
- pour |a| > 1, la suite de terme général Un tend vers -1, donc la série de terme général diverge
(la convergence vers 0 du terme général d'une série est une condition nécessaire de convergence de la série)
- pour |a| < 1, le terme général Un tend bien vers 0, donc il y a de l'espoir.
Et effectivement, pour |a| < 1, quand n tend vers +oo, le terme aⁿ tend vers 0, donc 1-aⁿ tend vers 1, donc Un est équivalent à aⁿ, donc le comportement de la série de terme général Un est le même que celui de la série géométrique de terme général aⁿ, donc la série est convergente.
Finalement, la série est convergente pour |a| < 1, et divergente pour |a| 1

Merci

Citation :
et divergente pour |a| 1

Non, je persiste, elle est aussi divergente pour a = 1 (tous les termes sont infinis) et pour a = -1 (tous les termes de rang pair sont infinis)

Je dirais que c'est pas défini en 1 mais plutôt lorsque a est proche de 1

en tout cas pour moi tout est correct à par ce petit détail

une fois de plus merci

On peut discuter... Formellement, la définition exacte de la divergence d'une suite sur est :
"On dit qu'une suite est divergente lorsqu'elle ne converge vers aucune limite dans "
Ceci s'applique en particulier aux séries, en considérant comme suites les sommes partielles de la série.
Dans ce sens, il y a bien divergence pour a = 1 et a = -1, puisque pour ces valeurs les sommes partielles ne convergent vers aucune limite dans .
Pour résumer, si on colle a la définition : pas défini, donc à fortiori pas convergent, donc divergent

Pardon... Et bonne soirée !

j'avais oublié cette définition de lycée

Citation :
On dit qu'une suite est divergente lorsqu'elle ne converge vers aucune limite dans