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Série numérique

Posté par
kobe24 26-12-09 à 17:17

Bonjour à tous

Je voudrais déterminer la nature de la série de terme général 4$\frac{(-1)^n}{(n!)^{\frac{1}{n}}} .

Je reconnais bien là une série alternée donc j'essaie d'appliquer le critère spécial pour les séries alternées,
mais je n'arrive pas à montrer la décroissance (si c'est le cas).

Et pour la limite nulle, j'ai composé l'équivalent de n! (donné par la formule de Stirling) avec la fonction xx^{\frac{1}{n}}, ce qui me donne 4$\frac{1}{(n!)^{\frac{1}{n}}} {\sim} \frac{e}{n} est-ce valable?

En espérant que quelqu'un voudra bien m'indiquer une piste pour la décroissance et valider (ou non) le calcul de la limite.

Merci
kobe24

Posté par
nevesre : Série numérique 26-12-09 à 19:39

bonsoir,

pour la décroissance, tu peux évaluer la quotient u(n+1)/u(n) avec u_n=\frac{1}{(n!)^{\frac{1}{n}}} et le comparer à 1 (tu tomberas sur une étude de signe plus facile)

sinon je regarde pour valider le critère d'Abel en essayant de prouver le caractère bornée de la série de terme général u_n.

enfin, on te demande de déterminer la somme ?

Posté par
kobe24re : Série numérique 26-12-09 à 20:44

Bonsoir neves,
merci d'avoir répondu

mais pour le signe de u(n)/u(n+1)-1 cela me semble bien compliqué,
du moins quand je pense à l'étude de la fonction x -> u(x)/u(x+1) - 1
ça va me faire intervenir la fonction et sa dérivée...
dur dur

D'autres idées ou pas le choix?

Posté par
kobe24re : Série numérique 26-12-09 à 20:45

ps: on ne me demande pas la somme... mais si elle est calculable simplement pourquoi pas.

Posté par
Narhmre : Série numérique 27-12-09 à 00:21

Bonsoir,

Une idée si tu ne veux pas passer par la fonction Gamma, voici des pistes pour appliquer le critere des séries alternées :

¤ 3$ v_n=\ln((n!)^{\frac{1}{n}})=\fr{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n\ln(k). Montre que 3$ v_n\leq \ln(n+1) puis déduis-en que 3$ v_n\leq v_{n+1} puis que (un) est décroissante.

¤ Montre que 3$ \Bigint_1^n\ln(x)dx\leq \Bigsum_{k=1}^{n-1}\ln(k+1)=\Bigsum_{k=1}^n\ln(k) (on le comprend bien graphiquement) pour en déduire que 3$ v_n \rightarrow +\infty et donc (un) tend vers 0.

Bonne nuit

Posté par
nevesre : Série numérique 27-12-09 à 10:58

re,

je n'avais pas rencontré de gros problème pour le signe.
on se ramenait au signe de ln(n+1)-\frac{ln(n!)}{n} soit de nln(n+1)-ln(n!)=v_n
puis v_{n+1}-v_n=(n+1)ln(\frac{n+2}{n+1})\ge 0
donc pour tout n \ge 1, nln(n+1)-ln(n!)\ge 0 ceci amène à \frac{u_{n+1}}{u_n}\le1
mais enfin la méthode de Narhm est plus jolie.

@+

Posté par
kobe24re : Série numérique 27-12-09 à 15:02

Merci beaucoup à vous deux,

Neves j'ai fait ta méthode et effectivement cela se fait bien, j'ai du avoir "peur" de passer à l'exponentiel pour l'exposant...



Narhm je n'arrive pas à déduire que v_{n} \le v_{n+1} avec v_{n} \le ln({n+1}).

Et pour la limite en effet graphiquement je vois bien le fait que l'aire des rectangles "majore" bien l'aire sous la courbe mais comment le montrer?
Cela ressemble au théorème de comparaison série/intégrale mais je l'ai appris pour une fonction décroissante, positive et de limite nulle... ou peut-être est-ce plutôt l'approximation de ln par des fonctions en escalier?

Posté par
Narhmre : Série numérique 27-12-09 à 20:10

En fait, tu remarques que 3$ v_{n+1}=\fr{1}{n+1}\Bigsum_{k=1}^{n+1}\ln(k)=\fr{1}{n+1}(\Bigsum_{k=1}^{n}\ln(k)+\ln(n+1))=\fr{nv_n+\ln(n+1)}{n+1}, donc 3$ v_{n+1}-v_n=\fr{nv_n+\ln(n+1)-(n+1)v_n}{n+1}=\fr{\ln(n+1)-v_n}{n+1}.
Si tu as montré que v_{n} \le ln({n+1}) alors le signe de 3$ v_{n+1}-v_n est immédiat. ( en fait vn est la somme arithmétique des coefficients ln(1),...,ln(n) )

Pour montrer ce qu'on voit graphiquement ( on utilise souvent ce type d'inégalité pour encadrer des sommes ou séries relatives à une fonction quand elle est monotone , c'est un peu pareil que dans la preuve de comparaison série-intégrale ) :
3$ \Bigint_1^n\ln(x)dx=\Bigsum_{k=1}^{n-1}\Bigint_{k}^{k+1}\ln(x)dx or comme la fonction ln est croissante, 3$ \Bigint_{k}^{k+1}\ln(x)dx\leq \ln(k+1)\Bigint_k^{k+1}dx=\ln(k+1)

Je te laisse finir

Posté par
kobe24re : Série numérique 27-12-09 à 20:19

Merci Narhm

Posté par
Narhmre : Série numérique 27-12-09 à 20:20

De rien


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