bonjour


série convergente vers 0.....



On peut essayer les accroissements finis ou le théorème de Rolle.

(1+1/n)^n = n ln (1 +1/n)  

et  ln (1+1/n) -1 = 1/n * 1/c avec c ..........................

je ne suis pas d'accord ça ne converge pas vers 0 ( j'ai testé avec Mathématica) et ça a pas l'air de converger ...

ça converge bel et bien vers 0.....




si on considère la fonction x --> ln(1+x)

le nombre dérivé en 0 est

lim (( ln (1+x) - ln(1)) / h) = 1

on remplace h par 1/n et on peut conclure....

c'est du niveau terminale...

Oui j'ai compris ce que tu veux dire par là, tu montres que la limite de tend vers 0, mais bon ça je sais le faire. La question ici c'est la nature de la série de terme général . Je suis d'accord il est bien de vérifier que le terme général tend vers 0, mais ce n'est pas une condition suffisante pour dire que la série converge..

Et les séries numériques ne sont  pas d'un niveau terminale

le nombre dérivé est du niveau terminale....


lim ( ln (1+1/n) / (1/1/n) ) = 1

et exp est continue donc

lim exp( .........) = e^1 = 1


désolé mais j'ai eu la flemme d'utiliser LATEX

oh pardon, je n'avais pas remarqué qu'on parle de série...

toutes mes excuses..

c'est pas grave, je t'en prie, merci quand même

Une solution serait de calculer

si je ne me trompe pas




on obtient:



à cause du premier terme, ça doit diverger....

Je ne connais pas de critère utilisant la différence :

Par contre je connais le critère de d'Alembert. On étudie la limite du rapport . Si la limite l > 1 , alors ça diverge et si l < 1 ça converge..

Resalut;

J'ai une petite idée.

Le terme général de la série est

On applique le test de Cauchy pour les séries.

On a donc :



C'est à dire
Soit

D'après le test de Cauchy, la série est convergente.

Ca se tient ?

La dernière ligne :

c'est :

OUps Dcamd le terme général c'est plutot : -   (et pas en exposant )

Dommage parce que ça marchait bien

Le (1+(1/n))ⁿ est équivalent en l'infini 1/e.

Ca aide ?

C'est donc équivalent en l'infini à e - (1/e)
On remarque que le terme général ne tend pas vers 0.
C'est pas normal, si ?

hep ! merci pour ton aide mais je crois que le terme est équivalent à e en l'infini plutot car :

= =   =

le terme général tend bien vers 0 , sinon ça serait génial ^^

Euh, ln(1+(1/n)) = -1/n +o(1/n²)  

Non ?

Non t'as raison, c'était trop beau

développement limité de ln(1+x) en 0

ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²)

c'est plutot ln(1-x) = -x - x²/2 ..

Oui, mais j'étais persuadé que ça tendait vers 1/e ! Lol

j'ai l'impression d'avoir tout essayer.. sauf d'Alembert mais là j'arrive pas à déterminer la limite d'un tel quotient c'est fou!

Moi aussi Dcamd au début mais en fait arf ^^

mais visiblement, au vu de calcul sur mathematica cette série semble diverger

Je suis d'accord !!!

Bonsoir,



...

Salut gui_tou   !

Comment t'as fait ?

Avec une composition de développements limités

(1+1/n)^n = exp( n ln(1+1/n) ) = exp( 1 - 1/(2n) + 1/(3n²) + o(1)/n²)

Puis exp(u) = 1 + u + u² + u²o(1)

Pour la deuxième, u ne tend pas vers 0, si ?

Ba on factorise exp( 1 - 1/(2n) + 1/(3n²) + o(1)/n² ) = exp(1).exp( -1/(2n) + 1/(3n²) + o(1)/n² )

, c'est vrai !

lol j'avais trouvé un truc comme ça sur un brouillon mais j'étais pas sur .. thanks guitou

en fait j'aurai du aller jusqu'a l'ordre 3 pour le ln c'est pour ca

Perso après calcul je trouve :

Mon résultat vient de Maple, c'est forcément juste désolé ^^

Boaf, au pire on dit a_n ~ e/(2n) et on applique le critère des équivalents pour les séries à termes positifs : la série diverge.

Oui tu as raison guitou, mais à l'ordre 2 c'est plus classe ^^