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Série, rayon de convergence

Posté par
ferenc 17-12-11 à 11:55

Bonjour,
voici la série \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}. Je dois calculer le rayon de convergence !
Dans mon cours, on me dit que le rayon de convergence est \mathcal{R}:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
C'est à dire que dans ce cas, en posant x_n=\sum_{n=1}^\infty a_n(x-0)^n, on a a_n=\frac{1}{n}, c'est à dire que \mathcal{R}=\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, or dans mon corrigé j'ai \mathcal{R}=1, pourquoi ?

Posté par
gui_toure : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 11:57

Salut,

Euh, \lim_{n\infty}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{1/n}=1

Cette règle n'est pas la plus utilisée en pratique, perso je lui préfère le critère de d'Alembert (mais attention à la rédaction).

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 12:02

ok autant pour moi, désolé !
Comme c'est tout nouveau, je l'utilise encore mal
en tout cas merci !

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 12:03

mais le critère de d'alembert nous donne juste un avis sur la convergence, mais pas sur le rayon de convergence ?

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 12:06

en effet, par d'alembert, si \lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho, si \rho<1 elle converge et si \rho >1 la série diverge. Donc le rayon de convergence serait-il égal à \rho ?

Posté par
gui_toure : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 12:12

Si si, voici un modèle de rédaction que j'ai appris (en maths spé PC) :

Posons u_n(x)=\left|\dfrac{x^n}{n}\right| à x fixé

¤ Pour x=0, la série \sum_{n\ge1}u_n(x) converge.

¤ Pour x\not=0, alors on peut considérer le quotient \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\dfrac{n}{n+1}|x|

--> Si |x|<1 alors \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} tend vers |x|<1 et la série \sum_{n\ge1}u_n(x) converge (règle de d'Alembert pour les séries à termes positifs) : {\mathcal{R}\ge1}


--> Si |x|>1 alors \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} tend vers |x|>1 et la série \sum_{n\ge1}u_n(x) diverge (règle de d'Alembert pour les séries à termes positifs) : {\mathcal{R}\le1}

Au final, {\mathcal{R}=1}

Posté par
lolo271re : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 14:31

Bonjour,

Personnellement je déteste tous ces critères qui sont des recettes de cuisine qui empêche de réfléchir.

SI  x= 1 , ta série diverge  (c'est la série harmonique) donc le rayon  R =< 1.

Si  x= -1  , ta série converge, (c'est l'exemple le plus basique des séries alternées) donc R>= 1 .

Donc R= 1.

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 16:18

très bien merci, je vais voir ce que je peux faire de tout ça !
bonne soirée !

Posté par
gui_toure : Série, rayon de convergence 17-12-11 à 18:07

lolo271

Bien sûr qu'ici on évalue en 2 valeurs et c'est plié, mais il y a des cas plus pathologiques que ce genre de critère résout à coup sûr ; d'autres encore pires qui ne se laissent pas faire aussi facilement.

Posté par
lolo271re : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 13:45

oui mais dans les cas compliqués , on utilise pas d'Alembert ni Cauchy  qui sont des critères vraiment très particuliers.

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 13:54

Pourriez vous me donner un cas vraiment compliqué ne nécessitant pas d'alembert !
Car en soit, pour moi, le rayon de convergence découle du critère de d'alembert car pour toute série \sum_{n\geq 0}f_n(x), elle converge si et seulement si \left|\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right|<1, donc en soi, on est obligé d'utiliser ce critère !
Mais pour les autres critère, - au point du cours en j'en suis - je suis d'accord qu'ils sont un peu superflu

Posté par
gui_toure : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 14:18

Citation :
Car en soit, pour moi, le rayon de convergence découle du critère de d'alembert car pour toute série \sum_{n\geq 0}f_n(x), elle converge si et seulement si \left|\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right|<1, donc en soi, on est obligé d'utiliser ce critère !


Que penses-tu de f_n(x)=\dfrac{x}{n^2} ?

Il faut par exemple faire attention aux séries lacunaires ( du genre \sum a_nx^{n^2} )

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 14:24

en effet !
alors mois je dirais que:
\sum_{n\geq 0}f_n(x)=x\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n^2}=x\frac{\pi^2}{6} qui converge pour tout x\in\R, et donc le rayon de convergence serait \mathcal{R}=+\infty

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 14:25

dans ma série n>0 bien sûr !!! (et non n\geq 0)

Posté par
gui_toure : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 14:29

Pardon, c'était f_n(x)=\dfrac{x^n}{n^2} que je voulais dire

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 14:39

j'utilise d'alembert, et donc:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+2n+1}|x|=|x| Donc la série converge pour |x|<1 le rayon de convergence est donc \mathcal{R}=1.
Je suis désolé gui_tou mais je ne vois pas où vous voulez en venir puisque dans ce cas d'alembert marche très bien

Posté par
gui_toure : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 14:41

pour x=1, la limite du rapport est 1 et la série converge quand même, donc ta proposition que j'ai citée, ce n'est pas un si et seulement si, là est toute la difficulté

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 15:35

oui bien sûr je vois ce que vous voulez dire en fait c'est juste la réciproque qui est juste, c'est bien ça ?

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 15:35

et ensuite, rien ne nous empêche de faire l'étude pour |x|=1

Posté par
ferencre : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 15:38

sauf dans votre premier exemple avec f_n(x)=\frac{x}{n^2} puisque \lim_{n\to\infty}\left|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=1\right| et donc d'alembert ne peut pas marcher. Mais de toute façon \sum_{n>0}\frac{x}{n^2} n'est pas une série entière donc la question ne se pose pas !
bon dimanche !

Posté par
lolo271re : Série, rayon de convergence 18-12-11 à 23:32

Bon ,

Un exemple au hasard où d'Alembert ne sert pas .

Série de terme général    :  Sin (n) xn   .


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