Niveau Maths sup

Série télescopique?

Posté par
MikaelMikael 03-12-09 à 22:25

Bonsoir,

il me faut étudier la nature de cette série avec $\alpha$ réel :

$\Bigsum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)} \\$ = $\Bigsum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln \frac{n+1}{n}} \\$ (je doute de l'utilité de cette transformation mais sait-on jamais)

Les équivalents et autres développements limités ne me semblent pas très utiles ici.
Je me suis rabattu sur une recherche de majorant du terme général ainsi :
$\frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)} \le \frac{(n+1)^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)}$
mais rien n'y fait puisque ce majorant trouvé me semble être le terme général d'une série divergente.Je pense que je n'ai pas vu comment transformer efficacement la relation de départ, ou bien que je ne pense clairement pas à la bonne méthode.

Auriez-vous une idée?

Merci beaucoup!

PS: je colle ici le code latex \Bigsum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)} de la série pour un recopiage plus facile si vous vouliez l'utiliser.

Posté par re : Série télescopique? 03-12-09 à 22:41

Dommage que je ne puisse pas éditer le post pour changer le titre qui n'est pas très approprié et je m'en excuse.

J'ai par contre trouvé un équivalent en $+\infty$ à mon dénominateur :

$ln(n+1) - ln(n) ~ \frac{1}{n}$

Je poursuis mes recherches...

Posté par re : Série télescopique? 03-12-09 à 22:55

J'ai donc un équivalent de mon terme général :

$\frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)}$ $\frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{\frac{1}{n}}$

$\frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)}$ $n ((n+1)^\alpha - n^\alpha)$

Je peux ensuite majorer ce dernier terme :

$n ((n+1)^\alpha - n^\alpha)$ < $n ((n+1)^\alpha)$
pour ensuite montrer à nouveau en utilisant un équivalent du majorant que si
$\alpha<-3$ alors la série de terme général $\frac{(n+1)^\alpha - n^\alpha}{ln(n+1)-ln(n)}$ diverge.

Est-ce correct? Qu'en est-il des autres cas?

Merci beaucoup!

Posté par re : Série télescopique? 04-12-09 à 00:19

Pose u : n (n + 1⁾ - n , v(n) = ln(1 + 1/n) pour n > 0 et w = u/v .
Pour y voir clair étudie le cas > 0 puis le cas < 0 en posant alors = - .

Dans chacun des cas pour étudier u , tu mets en facteur la partie principle (n si > 0 , n si < 0.)
Si je ne me suis pas trompé u(n) .n
Tu dois pouvoir conclure

Posté par re : Série télescopique? 04-12-09 à 00:52

Merci kybjm pour ta précieuse réponse :

Voyons, si je reprends ta notation j'ai
$u(n)=(n+1)^\alpha -n^\alpha$
Si je met en facteur la partie principale j'obtiens :
$u(n)=n^\alpha(\frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha}-1)$
$u(n)=n^\alpha((\frac{n+1}{n})^\alpha-1)$
Si $\alpha$ > 0 on a :
$(\frac{n+1}{n})^\alpha-1$ 0
Et par croissances comparées :
$u(n)=n^\alpha((\frac{n+1}{n})^\alpha-1)$ +
On peut conclure que si \alpha > 0 alors la série diverge nécessairement.
Est-ce correct?

Si $\alpha$ < 0 et en posant $\beta = - \alpha$ on a :
$(\frac{n}{n+1})^\beta-1$ 0
$u(n)=\frac{((\frac{n+1}{n})^\beta-1)}{n^\beta}$ +

On peut poursuivre l'étude du terme général, mais je ne vois pas comment tu trouves un équivalent à u(n)?

Merci encore!

Posté par re : Série télescopique? 04-12-09 à 09:04

Oups...

Je voulais bien entendu écrire :
$u(n)=\frac{((\frac{n+1}{n})^\beta -1)}{n^\beta}$ 0

On peut poursuivre l'étude du terme général, mais je ne vois pas comment tu trouves un équivalent à u(n)?

Quelqu'un aurait-il une idée?

Merci beaucoup!

Posté par re : Série télescopique? 04-12-09 à 18:24

Utilise :

(n + 1)/n = (1 + 1/n) = 1 + /n + o(1)/n

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