Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

séries

Posté par
Ludia 12-10-08 à 17:30

bonjour,
je dois étudier la convergence de la série définie par le terme un=tan (Pi)*racine(n^2+n(a+b))ou a et b sont des réels
j'ai d'abord trouver un équivalent et ensuite , j'ai multiplié le terme un par n^alpha et j'ai trouvé une limite non nulle qui n'est pas infinie. Je peux donc conclure que la série converge si alpha est supérieur à 1 mais ce qui me pose problème, c'est que ma limite dépend de alpha et c'est pourquoi,je pense que je me suis trompée

merci d'avance

Posté par
perroquetre : séries 12-10-08 à 17:39

Bonjour, Ludia

Il faudrait que tu me précises quel est l'équivalent que tu as trouvé.
Je pourrai te répondre après

Posté par
Ludiare : séries 12-10-08 à 17:43

j'ai trouvé que n^alpha ùun est équivalent à alpha*tan(Pi)+(a+b)*alpha*tan(Pi)/(2*n)

Posté par
perroquetre : séries 12-10-08 à 17:58

Tu te précipites trop vite.
On cherche d'abord un équivalent de u_n.
Donc, je sais que tu as obtenu:

u_n=\tan \left(\pi n+\frac{a+b}{2}+o(1)\right)

Donc:
u_n=\tan\left( \pi\frac{a+b}{2}+o(1)\right)

Si   a+b est différent de 1+2k, avec k dans Z, alors u_n est de limite \tan\frac{\pi(a+b)}{2}  ou de limite infinie, donc non nulle.
Donc, la série est divergente.

As-tu bien compris cette première partie du raisonnement ?

Posté par
Ludiare : séries 13-10-08 à 06:15

merci beaucoup.
Désolée pour hier mais j'ai eu un empêchement
j'ai bien compris cette partie du raisonnement . Si on suppoe maintenant que a+b = 1+2k, on obtient alors un=tan(/2 +2k+o(1)) or tan (/2 )tend vers l'infini que ce soit en plus ou en moins  donc on doit pouvoir affirmer que la série diverge

Posté par
perroquetre : séries 13-10-08 à 15:13

Pour pouvoir étudier ce dernier cas, il faut pousser le développement limité un peu plus loin.

3$ u_n=\tan\left(\pi\sqrt{n^2+(a+b)n}\right)= \tan \left(\pi n\sqrt{1+\frac{a+b}{n}}\right) =\tan\left( \pi n\left( 1+\frac{a+b}{2n} -\frac{(a+b)^2}{8n^2}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right)

u_n=\tan\left(\pi\frac{a+b}{2}-\pi\frac{(a+b)^2}{8n}+O\left(\frac{1}{n} \right)\right)

Donc, si a+b est différent de 2k, avec k appartenant à Z, u_n a une limite finie non nulle ou infinie et la série est divergente. (il y avait une erreur dans mon précédent post   )

Si a+b est égal à 2k, avec k appartenant à Z:
u_n \sim -\pi \frac{(a+b)^2}{8n}
Et la série diverge, sauf si a+b=0

Donc, au final, l'exercice n'est pas très intéressant puisque la série diverge toujours. Ne fallait-il pas étudier plutôt la série
3$\sum \tan\left(\pi\sqrt{n^2+an+b}\right)   ?

Posté par
Ludiare : séries 13-10-08 à 21:08

je ne pense pas car on avait plusieurs séries à étudier donc certaines étaient convergentes et d'autres noon. En tout cas, merci beaucoup


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !