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séries

Posté par
jhui 10-11-08 à 20:33

Bonjour à tous,
j'arrive ici je ne connais pas trop comment cela ça marche mais j'ai deux petits problèmes...

Voila j'ai deux séries et je dois trouver si elle converge ou pas et j'aimerais savoir si mon raisonnement est juste ...

1°) Un = cos(n)sin(n-1)
2°) Vn = (1+2n3)/n!

alors  
1°)je ne sais pas ça ma parut trivial... n* (car sinon 1/n n'est pas définié) alors cos(n)=0 donc forcement Un=0 quelque soit n...(tjrs différent de 0)donc la série est convergente comme série de terme général 0 et sa somme est 0...
Je dois le démontrer faire quelque chose de plus ???

2°) alors j'ai simplement appliquer le critère de d'alembert et je finis par trouver que lim (Un+1)/(Un) = 1/n lorsque n tend vers + donc forcément lim (Un+1)/(Un) = 0 lorsque n tend vers + donc d'après le critère de d'Alembert la série de terme général Un convege ... c'est correct ce raisonnement ??? il faut rien faire de plus ???

Merci d'avance de vos réponses(c'est pour un devoir maison c'est assez important!!)

Posté par
gui_toure : séries 10-11-08 à 20:46

salut

1) non, cos(n*Pi)=(-1)n

2) D'Alembert à l'air de marcher ici !

Posté par
jhuire : séries 10-11-08 à 20:54

1°)Oh mais oui bien sur ^^ je me disais aussi que c'était beaucoup trop simple... lol
est-ce que je peux dire alors que cos(n)sin(n-1)(-1)n/n et c'est le terme général d'une série qui ne converge pas absolument mais qui converge d'après le critère des séries alternées... donc du coup ma série est convergente... je peux ou pas ???

mais je sais que |sin(x)|x  et cette égalité est vrai seulement avec la valeur absolue mais la je n'utilise pas la valeur absolue dans mon raisonnement plus haut??

Je suis un peu perdu tu peux (ou d'autres) m'aider???

Merci d'avance

Posté par
bc92re : séries 10-11-08 à 20:57

Bonjour,

Pour le 1) il te faudra aller un peu plus loin car cos (n) n'est pas nul (quand ça semble trivial à ce point il y a en général un gros hic).
Il me semble qu'un développement limité de sin (1/n) te donne la série harmonique alternée, qui converge, plus une somme de restes que tu peux majorer facilement en valeur absolue par une série géométrique.

pour le 2) le critère de d'Alemebert fonctionne effectivement ( licite car la série est de terme général positif), c'est OK.

Cordialement,
Bruno

Posté par
bc92re : séries 10-11-08 à 20:58

d'Alemebert

Camembert !

B.

Posté par
jhuire : séries 10-11-08 à 20:59

Mon problème c'est que je n'ai pas vu les dévelopements limités ... J'ai vu tout ce qu'il a de plus classique sur les séries Cauchy d'alembert critères des séries alternées.... as-tu vu mon message plus haut ou je parle de la série alternée...???

Merci de ton(et de votre aide)

Posté par
gui_toure : séries 10-11-08 à 20:59

Citation :
est-ce que je peux dire alors que cos(n)sin(n-1)(-1)n/n et c'est le terme général d'une série qui ne converge pas absolument mais qui converge d'après le critère des séries alternées... donc du coup ma série est convergente... je peux ou pas ???


Non, puisque (-1)n/n n'est pas de signe constant, donc tu ne peux rien dire comme ça !

En revanche, tu peux te servir du DL de sinus en 0 : 3$\sin({4$\fr1n})={4$\fr1n-\fr{1}{6n^3}+o\(\fr{1}{n^3}\)

Du coup, on se retrouve avec 3$u_n={4$\fr{(-1)^n}{n}-\fr{(-1)^n}{6n^3}+o\(\fr{1}{n^3}\)

Et tout le monde converge, donc 3$\rm\Bigsum u_n aussi !

Posté par
jhuire : séries 10-11-08 à 21:05

cos(n)sin(-1)(-1)n/n oups coquille c'était cela que je voulais écrire ... c'est toujours faux ???

Je n'ai pas vu les dvts limités ... Je ne peux donc pas les utiliser ...

Merci encore de votre aide future^^

Posté par
gui_toure : séries 10-11-08 à 21:08

Oui c'est toujours faux !

Aucun critère n'assure que si un et vn sont quelconques tq unvn , et si la série des vn converge alors la série des un converge.

En revanche, si 0unvn et que la série des vn converge, alors la série des un converge.

Sans développement limité je ne vois pas encore, je cherche.

Posté par
jhuire : séries 10-11-08 à 21:13

ha mais oui c'est vrai la comparaison des séries ne marchent que pour les séries à termes positifs!!!autant poour moi... Merci de m'avoir corrigé...
J'espère que tu vas trouver parce que je suis totalement perdue ....

Merci encore de ton aide

Posté par
gui_toure : séries 10-11-08 à 21:24

Arf arf je ne vois pas

Posté par
jhuire : séries 10-11-08 à 21:28

Oh non je n'ai plus qu'à me pendre ou à me jeter par ma fenêtre lol .....
Nan mais moi non plus je vois pas autant pour d'alembert c'était clair comme de l'eau de roche autant là je suis totalements bloqué... comme toi apparamment... c'est pas grave tampis merci quand même^^ si jamais une idée jaillit dis toujours hein ^^

Posté par
gui_toure : séries 10-11-08 à 21:31

Mais non mais non fais pas ça, enfin pas tout de suite

Franchement je pense qu'un DL nous tend les bras, mais si tu ne l'as pas vu alors il faut essayer de trouver autre chose. Maybe la transformation d'Abel ?

Posté par
jhuire : séries 10-11-08 à 21:41

bon j'attends un petit peu je ne suis pas encore trop desespéré^^
Ben peut-etre qu'un DL nous tend les bras mais apparemment notre prof lui il veut qu'on se jettre dans les bras d'autre chose lol et puis alors encore les DL on en entend parler souvent (mais on les voit pas) autant la transformation d'Abel encore moins ... lol

Je me demande aussi je vois ce que c'est un DL ... Mais sur tous les sites que je regarde je vois evidemment que le DL de sin est classique mais je ne comprends pas comment tu obtiens ta formule que tu m'as écrite ni pourquoi tu fais ce DL en 0 ???peux-tu m'expliquer ???

Merci d'avance

Posté par
gui_toure : séries 11-11-08 à 10:25

Ayé j'ai trouvé !!

Pense au critère spécial des séries alternées !

Citation :
pourquoi tu fais ce DL en 0


Parce que n tend vers l'infini, donc 1/n tend vers 0

Citation :
je ne comprends pas comment tu obtiens ta formule


Au voisinage de 0 :

3$\sin(x)=x-\fr{x^3}{6}+o(x^3)

donc avec x=1/n :

3$\sin({4$\fr1n})={4$\fr1n-\fr{1}{6n^3}+o\(\fr{1}{n^3}\)

Posté par
jhuire : séries 12-11-08 à 19:58

je venais voir le nouveau sur le sujet et figure toi que j'allais t'anoncer la même nouvelle que toi j'ai aussi trouvé enfin je ne suis pas sur je vais te demander de me guider un peu du cou
cos(n)sin(1/n) du coup en posant Un egal mon machin là lol!
eh ben si je prends Un= (-1)n(sin(1/n)) en prenant |Un| j'ai |Un|= sin(1/n) or sin(1/n) tend vers 0 mais ne le fait pas en décroissant... donc d'après le critère des séries alternées ma série ne peut pas converger ...

Elle ne converge pas du tout ou alors elle ne converge pas absolument??(dans ce cas je devrais trouver si jamais elle n'est pas semi-convergente)???

Merci d'avance de ton aide.

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 19:59

Citation :
or sin(1/n) tend vers 0 mais ne le fait pas en décroissant...


Ah, tu es sûre ?

Posté par
jhuire : séries 12-11-08 à 19:59

autre chose ... comment je montre que sin(1/n) n'est pas décroissante???

Merci d'avance de ton aide.

Posté par
jhuire : séries 12-11-08 à 19:59

hein quoi ??? ca marche pas lol ??????

aide moi lol

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 20:00

Ba elle l'est donc tu auras du mal à montrer qu'elle ne l'est pas ^^

sin(1)=0,84
sin(1/2)=0,48
sin(1/3)=0,33

...


Posté par
jhuire : séries 12-11-08 à 20:03

elle est décroissante et décroit vers 0??? t'es sur??? lol mon prof m'a dit l'inverse cette aprem !!!!
comment je montre qu'elle décroit vers 0 alors ... ???

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 20:27

Ba vi, la suite 3$(\sin\(\fr1n\))_{n\ge1 est décroissante, et converge vers 0 !

Pour la décroissance, on peut dire :

3$\sin(\fr{1}{n+1})-\sin(\fr1n)=2\cos\(\fr{\fr{1}{n+1}+\fr{1}{n}}{2}\)\sin\(\fr{\fr{1}{n+1}-\fr{1}{n}}{2}\)=2\cos\(\fr{2n+1}{2n(n+1)}\)\sin(-\fr{1}{2n(n+1)}\)=-2\cos\(\fr{2n+1}{2n(n+1)}\)\sin\(\fr{1}{2n(n+1)}\)<0

Paf, on a bien 3$\fbox{\forall n\ge1,\;\sin(\fr{1}{n+1})<\sin(\fr1n) et la suite 3$(\sin\(\fr1n\))_{n\ge1 est décroissante.

Quant à la limite, on peut dire : 3$\lim_{n\to+\infty}\ \fr1n=0 et par continuité de la fonction sinus en 0, 3$\lim_{n\to+\infty}\ \sin\(\fr1n\)=\sin(0)=0

Et là, on a gagné

Citation :
eh ben si je prends Un= (-1)n(sin(1/n)) en prenant |Un| j'ai |Un|= sin(1/n) or sin(1/n) tend vers 0 mais ne le fait pas en décroissant... donc d'après le critère des séries alternées ma série ne peut pas converger ...


Be careful, ce n'est pas parce que le critère ne s'applique pas à une série alternée qu'elle diverge obligatoirement !

Le critère spécial des séries alternées donne une condition suffisante de convergence, mais cette condition n'est pas nécessaire.

Pour t'en convaincre (enfin non, vu que tu n'as pas vu les DL tu vas devoir me croire sur parole ) :

On considère 3$u_n={4$\fr{1}{\sqrt{n+(-1)^n et 3$v_n={4$\fr{1}{\sqrt{n}+(-1)^n

Les suites 3$(u_n) et 3$(v_n) sont de limite nulle, non décroissantes, donc on ne peut pas leur appliquer le fameux critère, mais  :

3$\Bigsum (-1)^nu_n CONVERGE   et   3$\Bigsum (-1)^nv_n DIVERGE

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 20:31

Pour ton prof, je pense qu'il parlait de la suite (sin(n)), qui elle ne converge pas, et n'est pas monotone.

Posté par
jhuire : séries 12-11-08 à 20:51

je n'ai qu'un mot à dire! pan dans les dents lol ^^

juste un détail ^^
de faire sin(1/(n+1)) - sin(1/n) bon ca va je suis d'accord ^^
après tu utilise la formule de trigo
sin p - sin q = 2cos((p+q)/2)sin((p-q)/2) je suis d'accord d'ailleurs comment demontre t on cette formule??
je comprends ton raisonnement mais je ne vois pas en quoi ton dernier membre est négatif d'accor il y a le -2 mais aevc le cos et le sin on ne peut rien dire ????

J'ai du mal a me dire que cette suite est décroissante vu ke la fonction sin(1/x) se rapproche de 0 en oscillant de plus en plus vite comment peut elle decroire ???

pr le critere des series alternees oui oui jetais o courant je sais qu'une suite peut converger et ne pas satisfaire le critere des series alternes ca marche ke dans un sens si le critere des series alternees sappliquent alors ca converge sinon on sait pas trop!!

Merci de ton aide future^^

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 21:06

Citation :
sin p - sin q = 2cos((p+q)/2)sin((p-q)/2) je suis d'accord d'ailleurs comment demontre t on cette formule??


On utilise l'astûûce 3$p={4$\fr{p+q}{2}+\fr{p-q}{2}} et même chose ou presque : 3$q={4$\fr{p+q}{2}-\fr{p-q}{2}

Du coup, avec sin(a+b)=..

3$\sin(p)=\sin\({4$\fr{p+q}{2}+\fr{p-q}{2}}\)=\sin\({4$\fr{p+q}{2}}\)\cos\({4$\fr{p-q}{2}}\)+\cos\({4$\fr{p+q}{2}}\)\sin\({4$\fr{p-q}{2}}\)

et

3$\sin(q)=\sin\({4$\fr{p+q}{2}-\fr{p-q}{2}}\)=\sin\({4$\fr{p+q}{2}}\)\cos\({4$\fr{p-q}{2}}\)-\cos\({4$\fr{p+q}{2}}\)\sin\({4$\fr{p-q}{2}}\)

en soustrayant : 3$\fbox{\sin(p)-\sin(q)=2\cos\({4$\fr{p+q}{2}}\)\sin\({4$\fr{p-q}{2}}\)
Citation :

je comprends ton raisonnement mais je ne vois pas en quoi ton dernier membre est négatif d'accor il y a le -2 mais aevc le cos et le sin on ne peut rien dire ????


parce que les deux trucs qui sont dans le cosinus et dans le sinus sont positifs (ça se voit) et plus petits que 1 pour tout 3$n\ge1.
Vu que les fonctions cosinus et sinus sont positives sur le segment [0,1], on a : 3$\cos\(\fr{2n+1}{2n(n+1)}\)\sin\(\fr{1}{2n(n+1)}\)\ge0 et avec le -2 devant on a bien un truc négatif

Citation :
J'ai du mal a me dire que cette suite est décroissante vu ke la fonction sin(1/x) se rapproche de 0 en oscillant de plus en plus vite comment peut elle decroire ???


oui .... ça c'est ce qui se passe quand x tend vers 0 or chez nous il tend vers l'infini !

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 21:11

Si tu ne me crois pas pour le coup du sinus qui tend vers 0, on peut se servir de la majoration que tu as citée plus haut :

3$\forall x\in{\bb R},\;0\le|\sin(x)|\le |x|

En particulier, 3$\forall x>0,\;0\le|\sin(\fr1x)|\le \|\fr1x\|=\fr1x

Et paf, par le théorème d'encadrement des fonctions quand x tend vers l'infini, 3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\ \sin(\fr1x)=0

Ou encore plus simplement (je viens d'y penser lol)

en possant u=1/x : 3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\ \sin(\fr1x)=\lim_{u\to0}\ \sin(u)=\sin(0)=0

Posté par
jhuire : séries 12-11-08 à 21:16

ha merci lol grace a toi je passe pour une andouille mdr tout ca c'est trop evident on met ca sur le compte de la fatigue en vrai je suis bon en cours hein mais là je séchais les séries c'est pas trop mon truc mais là tout s'est éclaire ^^ CQFD comme on dit lol!

Au fait j'ai commence les développements limités sont à mon programme mais juste pour ds une ou deux semaines lol!!^^

Tu me sauves lol!!!!!!!

Merci encore beaucoup beaucoup

Posté par
gui_toure : séries 12-11-08 à 21:19

Je t'en prie


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