Salut à tous, j'ai un Dm à faire et je bloque à la troisième question pouvez vous me dépanner?

SOit R_n=((-1)^p/p) (p=[n+1;] avec n

1)Rappeler l'énocé d'un théorème(y compris l'évaluation du reste) permettant de montrer que la série R_n est convergente où p^*.

Réponse:

Théorème le CSSA(Critère speciale des suites alternées), d'ou la convergence de R_n, deplus d'après le CSSA, on a: R_n|U_n+1|1/(n+1) [avec U_n+1=((-1)ⁿ⁺¹/(n+1))], d'où  la CVNCVU de R_n(ceci nous seras utile dans la question suivantes).

2)A l'aide d'une suite géométrique montrer que n, R_n=(-1)ⁿ⁺¹(₀)¹(((xⁿ)/(1+x))dx).

Réponse:
Montré en considérent que (-1)^p/p=(₀)¹(((-1)^p(x)^p)dx).
Puis en prenant la somme et sagissant d'une somme finie si on prend dans la somme p=[n+1;q], on peut inverser intégrale et somme, puis en faisant tendre q vers l'infini avec la CVU, on obtient l'expression demander après avoir remarquer la définition de la somme d'une suite géométrique:
(₀)¹((_p=n+1)^q)((-x)^p-1dx)=(-1)ⁿxⁿ((₀)¹)(((1-(-x)^n+q)/(1+x))dx).

3)Par intégration par parties, montrer qu'il existe un entier ^* et un réel k différent de 0 tel que: R_n=k((-1)ⁿ⁺¹)/n+O(1/(n⁺¹)).

Réponse:
Pouvez vous m'aidez ici, j'ai beau faire l'intégration par partie dans les deux sens c'est à dire avec ln(1+x) ou en passant à -1/((1+x)²) et d'utiliser un développement limité de ses fonctions après mais je n'arive à rien pouvez vous m'aidez?

Merci d'avance.