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Séries

Posté par
masterrr 04-09-09 à 20:04

Bonjour,

Je voudrais que vous me disiez si mes résultats sont correctes. J'ai surtout un doute pour ma réponse à la question 3... Je viens juste de commencer le chapitre sur les séries numériques donc c'est nouveau pour moi. Merci d'avance !


Soit 5$ \alpha \in \mathbb{C}^* ; on suppose que la suite 5$ a est définie par : 5$ \forall n \in \mathbb{N}, a_n=\alpha.

1. Expliciter 5$ \Bigsum_{k=0}^n~ \(n\\k\) pour 5$ n \in \mathbb{N}.

D'après la formule du binôme de Newton, on obtient 5$ \forall n \in \mathbb{N}, \Bigsum_{k=0}^n~ \(n\\k\)=2^n.

2. Expliciter 5$ a_n^*=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^n~ \(n\\k\)a_k pour 5$ n \in \mathbb{N}.

D'après la question précédente et comme la suite 5$ a est constante égale à 5$ \alpha, on obtient 5$ \forall n \in \mathbb{N}, a_n^*=\alpha.

3. La série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n (resp. 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^*) est-elle convergente ?

La suite 5$ a (resp. 5$ a^*) ne tend pas vers 0 donc la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n (resp. 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^*) diverge grossièrement.

Posté par
Arkhnorre : Séries 04-09-09 à 20:10

Bonsoir.

Oui, tout est correct !

(Je ne vois pas vraiment où veut en venir le problème. ^^ Il y a d'autres question après ?)

Posté par
masterrrre : Séries 04-09-09 à 20:14

Oui il y a d'autres questions ! C'est le début de la partie 1 (il y a 3 parties en tout) qui étudie deux exemples d'un procédé de sommation : les cas d'un suite constante et géométrique. Il s'agit de la composition de Mathématiques I du concours CCP 2006.

Je vais manger et je reviens pour la suite du problème !

Merci d'avoir répondu.

Posté par
masterrrre : Séries 04-09-09 à 22:29

Voilà la suite ; est-ce correcte ?

J'ai surtout des doutes quand à la rédaction à la question 3. a)... Merci d'avance !

Soit 5$ z \in \mathbb{C} ; on suppose que la suite 5$ a est définie par : 5$ \forall n \in \mathbb{N}, a_n=z^n.

1. Exprimer 5$ a_n^* en fonction de 5$ z et 5$ n.

D'après la formule du binôme de Newton, on obtient 5$ a_n^*=\left( \frac{1+z}{2} \right)^n.

2. On suppose que 5$ |z|<1. Justifier la convergence de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n (resp. 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^*) et expliciter sa somme 5$ A(z)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n (resp. 5$ \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^* en fonction de 5$ A(z)).

5$ 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n (resp. 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^*) est une série géométrique de raison dont le module est strictement inférieur à 1 donc elle converge vers 5$ A(z)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n=\frac{1}{1-z} (resp. 5$ \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^*=\frac{2}{1-z}=2A(z)

3. On suppose que 5$ |z| \ge 1.

a) Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n (resp. 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^* si 5$ z=-2) ?

Si 5$ |q|>1, alors 5$ a, étant une suite géométrique, diverge vers 5$ +\infty donc la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n diverge grossièrement.

Si 5$ q=1, alors 5$ a est une suite constante égal à 1 et converge donc vers 1. Ainsi, la suite \left( 5$ \Bigsum_{k=0}^n~a_k \right) diverge donc la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n diverge.

Si 5$ q=-1, alors la suite 5$ a diverge et la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n diverge.

Si 5$ z=-2, alors 5$ \forall n \in \mathbb{N}, a_n^*=\left( -\frac{1}{2} \right)^n. Or 5$ |-\frac{1}{2}|<1 donc la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^* converge vers 5$ \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^*=\frac{2}{3}.

b) On suppose que 5$ z=\text{e}^{\text{i}\theta}, avec 5$ \theta \in \mathbb{R} tel que 5$ 0<|\theta|<\pi. Montrer que la série 5$ \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^* est convergente et calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme 5$ \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^*.

On a alors 5$ \forall n \in \mathbb{N}, a_n^*=\left( \cos\left( \frac{\theta}{2} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}} \right)^n.

Or 5$ 0<|\theta|<\pi donc 5$ |\cos\left( \frac{\theta}{2} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}|<1 donc la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n^* converge vers 5$ \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^*=\frac{1}{1-\cos\left( \frac{\theta}{2} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}}.

Posté par
masterrrre : Séries 05-09-09 à 08:37

Personne pour me dire si c'est correct ? S'il vous plaît...

Posté par
Arkhnorre : Séries 05-09-09 à 09:56

C'est correct ! Il ne reste plus qu'à séparer partie réelle et imaginaire.

Posté par
masterrrre : Séries 05-09-09 à 10:02

Alors, pour les parties réelles et imaginaires, j'arrive à :

5$ \text{Re}\left( \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^* \right)=\frac{1-\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\left[ 1-\cos^2 \frac{\theta}{2} \right]^2+\cos^2 \frac{\theta}{2}\sin^2 \frac{\theta}{2}} et 5$ \text{Im}\left( \Bigsum_{n=0}^{+\infty}~a_n^* \right)=\frac{\cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}}{\left[ 1-\cos^2 \frac{\theta}{2} \right]^2+\cos^2 \frac{\theta}{2}\sin^2 \frac{\theta}{2}}.

Je reviens dans quelques minutes avec la partie II. Mon professeur m'a dit qu'elle était un peu plus délicate (parce que cette première partie était relativement simple j'ai trouvé).

Posté par
masterrrre : Séries 05-09-09 à 10:24

Voilà la partie II. La partie I traitait deux exemples d'un procédé de sommation et la partie II étudie le procédé de sommation.

Je bloque à la deuxième question... Merci d'avance pour votre aide !


On suppose désormais que la suite 5$ a est à valeurs réelles, la suite 5$ a^* étant toujours définie par : 5$ \forall n \in \mathbb{N}, a_n^*=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^n~\(n\\k\)a_k.

1. Soit 5$ n \in \mathbb{N}^*, on considère un entier 5$ k fixé tel que 5$ k \in [|0,n|].

a) Préciser un équivalent de 5$ \(n\\k\) lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty.

J'ai trouvé que 5$ \(n\\k\) \sim \frac{n^k}{k!} lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty.


b) En déduire la limite de 5$ \frac{1}{2^n}\(n\\k\) lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty.

J'en ai déduis que 5$ \frac{1}{2^n}\(n\\k\) tend vers 0 lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty (les polynômes l'emportant sur le logarithme lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty).

2. Soient 5$ a une suite réelle et 5$ q un entier naturel fixé. On considère, pour 5$ n>q, la somme 5$ s_q(n,a)=\Bigsum_{k=0}^q~\(n\\k\)\frac{a_k}{2^n}.

Quelle est la limite de 5$ S_q(n,a) lorsque l'entier 5$ n tend vers 5$ +\infty ?

C'est là que je bloque... Je ne vois pas trop comment m'y mettre. J'ai essayé de regarder ce que donnait cette somme avec des pointillés mais en vain...

3. On suppose que 5$ a_n tend vers 0 lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty. Montrer que 5$ a_n^* tend vers 0 lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty.

4. On suppose que 5$ a_n tend vers 5$ l (limite finie) lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty. Quelle est la limite de 5$ a_n^* lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty ?

5. La convergence de la suite 5$ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} est-elle équivalente à la convergence de la suite 5$ (a_n^*)_{n \in \mathbb{N}} ?

Posté par
Arkhnorre : Séries 05-09-09 à 10:35

Ok pour les deux premières.

Pour la 3), l'entier q est fixé, donc la somme n'a qu'un nombre fini de termes.
Par conséquent, si tu détermines la limite de chaque terme de la somme lorsque n tend vers l'infini, tu n'auras ensuite qu'à sommer les q+1 limites.

Posté par
masterrrre : Séries 05-09-09 à 10:41

Merci !

En fait, j'ai fait une erreur en développant la somme... J'ai considéré 5$ 2^k au lieu de 5$ 2^k...

Chaque membre de la somme tend vers 0 (d'après les questions précédentes) donc la somme tend vers 0 lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infinity ?

Posté par
masterrrre : Séries 05-09-09 à 10:41

Édit : au lieu de 5$ 2^n.

Posté par
Arkhnorre : Séries 05-09-09 à 10:43

Oui !

Posté par
masterrrre : Séries 05-09-09 à 12:48

Ah bah c'était vraiment tout bête en fait. J'aurais dû mieux regarder l'expression avant de développer...

Comment aborder la suite ?

Notre professeur nous a dit de lire la démonstration du théorème de Césaro et j'ai l'impression que c'est à cet endroit qu'il faut l'utiliser vu les questions 3 et 4 (et 5).

Mais j'ai du mal à l'adapter... En tout cas, si on peut faire comme pour la démonstration du théorème de Césaro, il faut traiter le cas où la limite est 0 ; le cas où la limite est finie et quelconque se déduisant facilement du précédent.

Un petit coup de pouce s'il vous plaît ? Merci

Posté par
Arkhnorre : Séries 05-09-09 à 14:10

Oui, c'est très semblable à la démonstration de Césaro. Il faut couper la somme en deux, la coupe se faisant à un indice fixé bien choisi. Pour choisir cet indice, utilise la convergence de la suite a.

Posté par
masterrrre : Séries 06-09-09 à 10:02

Bonjour, j'ai essayé d'adapter la démonstration du théorème de Césaro mais je rencontre quelques petits soucis à un endroit...


La suite 5$ a converge vers 0 donc 5$ \exists \epsilon>0 / (n>N \Rightarrow |a_n| \le \epsilon).

Cette inégalité ne pouvant être utilisée qu'à partir du rang 5$ N+1, grâce à l'inégalité triangulaire, on sépare, lorsque 5$ n>N, les indices 5$ k \le N des indices 5$ k>N :

5$ |a_n|=\frac{1}{2^n}|\Bigsum_{k=0}^n~\(n\\k\)a_k|=|\Bigsum_{k=0}^N~\(n\\k\)\frac{a_k}{2^n}|+|\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=N+1}^n~\(n\\k\)a_k| \le |\Bigsum_{k=0}^N~\(n\\k\)\frac{a_k}{2^n}|+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=N+1}^n~\(n\\k\)|a_k|.

Puis en utilisant l'inégalité 5$ |a_n| \le \epsilon valable à partir du rang 5$ N+1 :

5$ |v_n| \le |\Bigsum_{k=0}^N~\(n\\k\)\frac{a_k}{2^n}|+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=N+1}^n~\(n\\k\)\epsilon.

On reconnaît 5$ S_q(n,a) qui tend donc vers 0 lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty (d'après les questions précédentes). Par contre je ne vois pas quoi faire de 5$ \frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=N+1}^n~\(n\\k\)\epsilon... Dans la démonstration du théorème de Césaro, on arrive à 5$ \frac{1}{n}\Bigsum_{k=N+1}^n~\epsilon d'où 5$ \frac{1}{n}\Bigsum_{k=N+1}^n~\epsilon=\frac{\epsilon}{n}(N-n) \le \epsilon. C'est le 5$ \(n\\k\)\ qui me dérange...

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Arkhnorre : Séries 06-09-09 à 10:11

Bonjour.

Ta définition de la limite de la suite a est fausse, c'est quelque soit epsilon, il existe N tel que ...

Sinon, tu peux majorer 3$ \frac{1}{2^n} \Bigsum_{k = N+1}^n {n\choose k} \epsilon \le \frac{1}{2^n} \Bigsum_{k = 0}^n {n\choose{k}} \epsilon = ?

Posté par
masterrrre : Séries 06-09-09 à 10:39

Faute de frappe en LaTeX... Je n'ai pas fait d'aperçu donc je n'avais pas fait attention... :S

On peut donc majorer la somme proposée par 5$ \epsilon (d'après les questions du début du sujet) ! Merci beaucoup.

Posté par
Arkhnorre : Séries 06-09-09 à 10:40

De rien.


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