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Séries de fonctions

Posté par
John-Z 05-12-09 à 19:36

Bonsoir.

Je suis tombé dans un exercice qui demande d'étudier la convergence de la série de fonctions f_k (t) définie par \sum_k \frac{(-1)^k}{2k!} x^{2k} \sin(t)^{2k}

Ce qui me laisse penser aux séries entières. En effet, \sum_k \frac{(-1)^k}{2k!} x^{2k} \sin(t)^{2k} = \cos(x\sin t)

Pour étudier la convergence simple, il suffit poser \lim f_k(t) = \cos(x\sin t)
La série est bien simplement convergente.

Mais : on peut aussi dire qu'elle converge uniformément vers  \cos(x\sin t) puisque

d'après le cours, une série de fonctions \sum u_n de D dans K converge uniformément et a pour somme s si
\epsilon > 0 , il existe N tel que n > N -> \forall t \in D , |s_n(t)-s(t)| = | \sum_{i=0}^n u_i(t)-s(t)|= |r_n(t)| < \epsilon

Et donc |\sum f_k(t) - \cos(x\sin t)| tend vers 0 quand k tend vers l'infinité

Exact ? J'en suis pas sûr. Merci.

Posté par
ottore : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:39

Bonjour,
tu dois justement confirmer ou infirmer la dernière proposition.

Posté par
John-Zre : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:41

Vu que \cos(x\sin t) = \sum_k \frac{(-1)^k}{2k!} x^{2k} \sin(t)^{2k} , on peut écrire direct : \sum_k \frac{(-1)^k}{2k!} x^{2k} \sin(t)^{2k} - \cos(x\sin t) = 0 d'où convergence uniforme.

Posté par
ottore : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:46

Pourquoi d"où convergence uniforme ?
Je ne suis pas sur que tu comprennes ce qu'est la convergence uniforme, si ?

Posté par
John-Zre : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:51

Non mais je sais que la convergence est uniforme si \lim |\sum f_n(x) - f_0 (x)|=0 avec f_0 (x) =\lim \sum f_n(x)

Posté par
ottore : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:53

Qu'entends tu par lim \left| \sum f_n(x)-f_0(x)\right|  ?

Posté par
John-Zre : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:55

Bah c'est marqué dans le cours sur ce site !

Posté par
John-Zre : Séries de fonctions 05-12-09 à 19:55

https://www.ilemaths.net/maths_p-series-fonctions.php

Posté par
ottore : Séries de fonctions 05-12-09 à 20:02

Ce n'est pas vraiment la réponse à ma question.
Il ne manque pas un élément dans ce que tu as écrit ?

Posté par
John-Zre : Séries de fonctions 05-12-09 à 20:06

ou bien sup \lim |\sum f_n(x) - f_0 (x)|=0

\cos(x\sin t) vers \cos(x\sin t) quand k tend vers +\infty ?


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