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Séries de même nature

Posté par
cacaboudin 04-02-09 à 20:10

Voici l'énoncé :

Soit (un)n0 une suite réelle décroissante admettant 0 pour limite. Pour tout n1, on pose vn=n(un-1-un).
Montrer que les deux séries de terme général un et vn sont de même nature et comparer leurs sommes en cas de convergence.

Donc je pense arriver à montrer que (un converge vn converge) avec les sommes partielles et en utilisant le fait que si un converge, alors la suite (nun)n0 converge. Par contre pour l'implication dans l'autre sens je suis bloqué

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
cacaboudinre : Séries de même nature 04-02-09 à 23:36

Pour information, je trouve (un converge vn converge) avec : (i=0...n)vi = (i=0...n-1)ui + nun

Mais avec ça, j'arrive à rien pour montrer (vn converge un converge)

Posté par
perroquetre : Séries de même nature 05-02-09 à 00:14

Bonjour

On suppose donc que \sum v_n converge. On a:
3$ \sum_{i=1}^n v_i = \left(\sum_{i=0}^{n-1}u_i\right) -nu_n =\sum_{i=0}^{n-1}\left( u_i-u_n\right)

Donc, pour tout N, pour tout n supérieur à N+1:
3$ \sum_{i=0}^{N}\left(u_i-u_n)\leq \sum_{i=0}^{n-1}\left( u_i-u_n\right)= \sum_{i=1}^n v_i\leq \sum_{i=1}^{+\infty} v_i

Pour tout N, en faisant tendre n vers l'infini:
3$ \sum_{i=0}^N u_i \leq \sum_{i=1}^{+\infty} v_i

\sum u_n est une série à termes réels positifs dont la suite des sommes partielles est majorée. Elle est donc convergente.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Séries de même nature 05-02-09 à 00:22

Bonsoir ;

\fbox{*} Je suppose que tu as déjà montré que 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n\ge0}u_n\;converge\;\Longrightarrow\;\left(\Bigsum_{n\ge1}v_n\;converge\;et\;\Bigsum_{n=0}^{+\infty}u_n=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}v_n\right)}

\fbox{*} Supposons maintenant que la série 3$\Bigsum_{n\ge1}v_n est convergente de somme V alors pour n\ge1 on a :

3$\fbox{V_n=\Bigsum_{k=1}^nv_k=\Bigsum_{k=1}^nk(u_{k-1}-u_k)=\Bigsum_{k=1}^nku_{k-1}-\Bigsum_{k=1}^nku_k=\Bigsum_{k=0}^{n-1}(k+1)u_k-\Bigsum_{k=0}^nku_k=\Bigsum_{k=0}^nu_k-(n+1)u_n\\\;\;\;=U_n-(n+1)(U_n-U_{n-1})=(n+1)U_{n-1}-nU_n}

d'où pour tout n\ge1 on a 4$\fbox{\frac{V_n}{n(n+1)}=\frac{U_{n-1}}{n}-\frac{U_n}{n+1}\;\displaystyle\sim_{n\to+\infty}\;\frac{V}{n(n+1)}}

la série 3$\Bigsum_{n\ge1}\left(\frac{U_{n-1}}{n}-\frac{U_n}{n+1}\right) est donc convergente et son reste est équivalent à celui de 3$\Bigsum_{n\ge1}\frac{V}{n(n+1)}

ce qui s'écrit 3$\fbox{\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{U_{k-1}}{k}-\frac{U_k}{k+1}\right)\;\displaystyle\sim_{n\to+\infty}\;\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{V}{k(k+1)}=V\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}

ce qui donne 5$\red\fbox{U_n\;\displaystyle\sim_{n\to+\infty}\;V} sauf erreur bien entendu



remarque : le cas V=0 est trivial

Posté par
cacaboudinre : Séries de même nature 05-02-09 à 00:23

Merci beaucoup !

Posté par
cacaboudinre : Séries de même nature 05-02-09 à 00:30

Merci à toi aussi elhor_abdelali, sans somme partielles c'est plus long mais intéressant à savoir


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