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Séries entières.
Bonjour à tous,
j'écris ici parce que j'ai quelques soucis avec des domaines de convergence de séries entières.
Je dois déterminer le rayon de convergence et le domaine de convergence des séries entières qui suivent:
a) 
((-1)n/(2n+1))z2n+2
b) (cos(n
)/n)zn
c) ((-1)n/nln(n))z2n
a) j'ai trouvé un rayon de convergence de 1 (en utilisant la reègle de d'Alembert version séries numériques) et j'ai trouvé un domaine réel de convergence : [-1;1]
seulement j'ai un souci avec le domaine de convergence complexe quand je cherche le résultat pour |z|=1 j'ecris z sous sa forme complexe et ca ne me donne rien du tout du coup je n'arrive pas à déterminer le domaine complexe ???
b)idem j'ai le meme souci je trouve un rayon de convergence de 1 et je trouve un domaine réél : ]-1;1] mais quand je cherche la valuer pour |z|=1 blocage je n'arrive pas non plus...
c) là par contre je suis totalement bloquée je n'arrive même pas à trouver le rayson de convergence ...
Merci d'avance de l'aide de tout le monde!!
Il faut mettre z sous forme |z|ei
.
Pour c), le ratyon de covergence est 1 (la convergence normale en prenant |z| < 1 s'obtient facilement et avec z = -1, la série diverge: pour le montrer, il faut comparer 1/nln(n) à 
[n, n+1]1/Xln(x) dx
Bonjour,
La règle de d'Alembert s'applique également pour le c).
Pour l'étude quand |z|=1 on pose z=eia et dans les 3 cas on doit étudier la convergence d'une série de terme général où
est une suite réelle décroissante vers 0 et b un réel (par exemple b=a/2+
pour le premier cas.
On peut utiliser la transformation d'Abel en introduisant . On montre que si b
2k alors est bornée.
De et il est alors facile de prouver la convergence absolue de cette nouvelle série.
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