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séries entiéres

Posté par
leisio 07-03-10 à 16:49

Bonjour à tous

je prépare une leçon d'agreg(interne) sur les séries entiéres.
Je n'arrive pas à prouver que "si on peut calculer le rayon de convergence avec le critére de d'Alembert, alors on peut le faire avec le critére de Cauchy".
La réciproque est fausse, j'en ai un contre exemple mais le sens direct me pose probléme....
Merci de m'aider

Posté par
Camélia Correcteurre : séries entiéres 07-03-10 à 16:59

Bonjour

Soit a la limite de u_{n+1}/u_n; on suppose que a > 0. Soit \varepsilon . tel que 0 < \varepsilon < a Montre qu'il existe un entier n_0 tel que pour tout p on ait

(a-\varepsilon)^pu_{n_0}\leq u_{n_0+p}\leq (a+\varepsilon)^pu_{n_0}

Si a=0, on se donne \varepsilon > 0 et on montre qu'il existe n_0 tel que

0 < u_{n_0+p}\leq \varepsilon^pu_{n_0}

Posté par
sophie29re : séries entiéres 07-03-10 à 17:03

Bonjour
J'ai préparé cette leçon la semaine dernière et voilà ce que j'ai trouvé :
Si (an+1/an) -> l alors : soit epsilon > 0, il existe N tq pour tout n > N,
I an+1/an - l I epsilon

an+1/aN = (an+1/an).(an/an-1)... (aN+1/aN)

Or chque quotient tend vers l, il y en a n-(N+1) donc an+1/aN tend vers ln-(N+1

Donc (continuité de racine nième) : nan+1 =naN . l[n-(N+1)]/n

et limna_N = 1 (par exp et ln)

et lim [n-(N+1)]/n = 1

Sophie

Posté par
leisiore : séries entiéres 07-03-10 à 17:10

Merci sophie, ta démonstration me convint !
Bon courage pour la suite des révisions

Posté par
rhomarire : séries entiéres 07-03-10 à 18:39

lorsque on jongle avec des termes qu on fait tendre vers l infini par exemple N  puis on le neglige devant n ;on devrait faire attention car on n est pas à l abri de se tromper  ...

Posté par
Drysssre : séries entiéres 07-03-10 à 18:49

En effet, cette démonstration n'est pas très rigoureuse.

Une facon plus simple de rédiger est de prendre le log et d'utiliser Cesaro.

Posté par
rhomarire : séries entiéres 07-03-10 à 19:02

METHODE POSSIBLE AVEC EN UTILISANT LEMME DE CESARO
| \frac{u_n}{u_{n-1}}| \to l \\ ln( | \frac{u_n}{u_{n-1}}|) \to ln(l) \\ \\ \Bigsum_1^n \frac{1}{n}{ln( | \frac{u_n}{u_{n-1}}|)} \to ln (l)
donc \frac{1}{n} ln( \frac{u_n}{u_1}) \to ln(l)...remarque que ln(u_1^{\frac{1}{n}}) \to 0...


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