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Séries numériques

Posté par
masterrr 13-09-09 à 20:53

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide concernant l'exercice suivant s'il vous plaît.
Merci d'avance !
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Soient 5$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels positifs tels que 5$ u_0>0 et 5$ \alpha \in \mathbb{R}.

On leur associe la suite de terme général 5$ v_n(\alpha)=\frac{u_n}{S_n^\alpha} où 5$ S_n=\Bigsum_{k=0}^n~u_k.

Le but de cet exercice est d'étudier la nature de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~v_n(\alpha) en fonction de la nature de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~u_n et de la valeur du réel 5$ \alpha.

1. Deux exemples

a) Soit 5$ \lambda \in \mathbb{R}. On suppoque que 5$ \forall n \in \mathbb{N}, u_n=\lambda^n.
Soit 5$ \alpha un réel fixé. Déterminer un équivalent simple de 5$ v_n(\alpha) lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty (distinguer les cas 5$ \lambda=1n \lambda \in ]0,1[ et 5$ \lambda>1). En déduire, en fonction des valeurs de 5$ \lambda et 5$ \alpha, la nature de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~v_n(\alpha).

b) On suppose que 5$ u_0=1 et que 5$ \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n=\frac{1}{n}.
Déterminer un équivalent de 5$ v_n(\alpha) lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty et en déduire la nature de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~v_n(\alpha) en fonction de 5$ \alpha.
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Posté par
robby3re : Séries numériques 13-09-09 à 21:47

Bonsoir,

pour la a) le cas ou 5$ \lambda=1 et le cas ou 5$ \lambda\in ]0,1[ sont faciles.

j'ai beaucoup plus de mal pour le cas ou 5$ \lambda>1
j'obtiens que
5$ V_n(\alpha)=\frac{(1-\lambda)^{\alpha}\lambda^n}{(1-\lambda^{n+1})^{\alpha}}=\frac{(\lambda-1)^{\alpha}\lambda^n}{\(\lambda^{n+1}-1)^{\alpha}}
faut distinguer les différents cas de \alpha\in \mathbb{R}
le cas ou \alpha=1 étant le plus facile, je te laisse faire les autres.


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