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Series semi-convergentes, une preuve du théorème de Gödel ?
Bonjour à tous,
J'ai mis ce topic au niveau maths sup, mais je ne sais pas vraiment a quel niveau ca correspond.
Toujours est-il que ma question est la suivante, résumée dans le titre :
Les series semi-convergentes, qui peuvent mener à des résultats impossibles comme 1=2 par exemple, ne sont elles pas un éxemple du théorème d'incompletude de Gödel , c'est à dire une preuve que notre système aboutit finalement à une contradiction ?
Merci à tous ceux qui prendront le temps de m'éclairer 
Bonjour,
non pas du tout, d'ailleurs si tu montres avec une série semi convergente ou pas, que 1=2 c'est que tu t'es planté ...
Le théorème d'incomplétude dit en quelque sorte qu'il y'a des propositions qui avec le système d'axiomes que tu t'es données ne pourront ni être fausses ni être vraies.
Plus exactement, le théorème d'incomplétude dit que sous les axiomes admis, il existe des énoncés indémontrables (dont on ne peut ni démontrer la vérité, ni l'absurdité).
En revanche, on peut démontrer que la théorie ZF des ensembles (et même ZFC, avec l'axiome du choix) n'est pas contradictoire, c'est à dire qu'on ne peut pas à partir de ces axiomes aboutir à une contradiction par démonstrations.
Les séries semi convergentes ne sont pas du tout sources de contradiction. Pourrais-tu expliquer pourquoi tu le crois ?
On sait par exemple que :
log(2)= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 ...
Si on réarange les termes :
1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 ...
Soit , avec quelques parentheses :
(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) ...
Si on calcule les parentheses , on obtient :
1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 ...
Ou encore :
1/2 ( 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 ... )
La série ainsi réarangée vaut la moitiée de la moitiée réarangée !
(D'ou on pourrait tirer le fameux 1=2)
Merci à vous deux pour la rapidité de vos réponses.
J'ai éffectivement parlé trop vite quand au théorème de Gödel, veuillez m'en excuser, alors je reformule ma question :
Les series semi-convergentes, qui peuvent mener à des résultats impossibles comme 1=2 par exemple, ne sont elles pas une preuve que les mathématiques actuelles aboutissent à des contradictions ?
On atteint la limite des mathématiques avec la philosophie, alors cette question n'appelle pas une réponse objective:
Est-ce qu'à force en mathématiques d'interdire des choses sous prétexte qu'elles donnent des résultats aberrants, on ne passe pas a coté du fait que ca pourrait deceler une erreur dans nos mathématiques ?
Je veux dire que si on s'interdit de réarranger des termes sous pretexte qu'on peut trouver (par une suite d'oppérations logiques, la base des mathématiques) des illogismes alors on passe peut etre a coté d'une réelle faille .
Comment etre sur ?
Bien sur toute réponse sera la bien venue mais il est évident je pense que nous avons tous notre propre avis sur la question. Neanmoins j'attends votre réponse, merci .
Bonjour
Sauf quelques cas qui touchent aux fondements (comme les paradoxes de Russell) les maths n'interdisent jamais
des choses sous prétexte qu'elles donnent des résultats aberrants
L'exemple donné montre simplement que les règles de calcul sur un nombre fini de termes ne passe pas toujours à la limite! Ce n'est pas plus choquant que les nombreuses astuces qui "démontrent" que 1=0 en faisant des calculs illicites!
Plutôt que de trouver des contradictions là où il n'y en a pas, demande toi pourquoi tu aurais le droit de faire ce que tu fais ...
Salut Camelia au passage
En revanche, on peut démontrer que la théorie ZF des ensembles (et même ZFC, avec l'axiome du choix) n'est pas contradictoire, c'est à dire qu'on ne peut pas à partir de ces axiomes aboutir à une contradiction par démonstrations.
Même pas, c'est ça qui est le plus terrible, on ne pourra jamais être sûr qu'il n'y a pas de contradiction dans les mathématiques (jusqu'au jour où éventuellement on en trouverait une ^^), d'après le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel.
À propos de la question initiale, je vais redire à peu près la même chose qu'otto et Camélia (salut
), mais ce n'est pas du tout une question d'interdit. Si je n'ai pas le droit de dire que 2+2=5, ce n'est pas parce que c'est interdit, mais simplement parce que je n'en ai pas de démonstration (et il est « peu probable » qu'une démonstration de 2+2=5 existe).
C'est pareil pour le réarrangement des termes d'une série semi-convergente, essaye de nous en donner une démonstration pour voir (c'est tout aussi « impossible » que démontrer que 2+2=5).
Certains pensent que « c'est évident » qu'on peut réarranger les termes d'une série, mais ils se trompent, une série comporte un nombre infini de termes, et l'infini est extrêmement difficile, voire complètement impossible à appréhender complètement.
Fractal
Bonjour à tous,
Je ne peux m'empêcher de comfirmer l'avis de Fractal. Revenons à la définition d'une série numérique...
C'est une somme de termes dont l'ordre compte . (Si on note somme de k=0 à l'infini, c'est que l'on part de 0, puis 1, puis ... il y a un ordre). Ce n'est sûrement pas assez dit ou écrit dans les cours de première année car à ce niveau ce n'est qu'un détail... et ceux qui écrivent une somme sur l'ensemble des entiers naturels ne devraient pas...)
Et la preuve que l'ordre compte : si on change l'ordre pour effectuer le calcul, on a parfois des séries différentes dont les sommes peuvent être différentes (rien de plus normal !!)
Quant à 1=2, je ne vois pas où est l'abérration... dans Z/1Z, on a même 0=1=2 !
J'adore la philosophie mais il y a des limites : une série doit rester une série.
@ +
Graindesel.
Bonjour à tous !
Sujet intéressant...
le théorème d'incomplétude dit que sous les axiomes admis, il existe des énoncés indémontrables (dont on ne peut ni démontrer la vérité, ni l'absurdité).
D'après ce qui est dit, il en existe forcément...par exemple ? Ou sinon en quoi consiste la démonstration de ce théorème ?
Et ne peut t-on estimer la cohérence des mathématiques en sachant que les propositions mathématiques sont liées les unes aux autres ?
D'après ce qui est dit, il en existe forcément...par exemple ? >> l'hypothèse du continu
C'est assez complexe et inbuvable comme démonstration... De ce que j'ai pu lire sur le net à propos de cette démo, on démontre que les systèmes d'axiomes vérifiant certaines propriétés naturelles (celui de ZF et même ZFC en fait partie) on peut construire une propriété du type "P: je suis indémontrable". Ya un nom pour ça, ça s'appelle des propriétés "auto-j'sais plus quoi" mais j'arrive plus à me souvenir du nom... 
En fait, le th de Godel ai beaucoup plus complexe que cela. quand on dit qu'il dit que "dans toute théorie cohérente il y a des énoncé indémontrables" c'est faux. ce qu'il dit est plutot du genre "dans toute théorie cohérente suffisement riche il y a des énoncé indémontrables". le "suffisement riche" étant bien sur à préciser (et on a pas dénoncé unique de ce qu'il signifie en réalité).
si mes souvenir son bon la philosophie de ca démonstration est de prendre une théorie suffisement pour riche pour "coder" une démonstrations et un énoncé dans ces objets : c'est le cas de Peano (l'axiomatique de N) par exemple : une démonstration etant juste une suite fini de terme mathématique, on peut la coder par un entier. et on peut ensuite considéré une fonction* sur N qui a un entier représentant un énoncé et un entier représentant un démonstration vaut 1 si la démonstration est une démonstration corecte de l'énoncé et 0 sinon. à partir de la on peut coder dans notre théorie des énoncé disant qqch comme "il existe des énoncé indémontrable" des problème du type "paradoxe du menteur" qui sont forcement indécidable. (en réalité il y a une autres grosse difficulter ici, dont je ne rappelle que tres brievement)
fonction* : en réalité c'est beaucoup plus compliqué que cela, car il faut que cette fonctions construite "existe" dans la théorie qu'on considère, pour cela il faut que le codage défini sont bien construit...
tous ce que je viens de dire est tres vulgaire, et je suis loin d'etre un spécialiste du sujet, pour une versions précise est correcte, jeter un Oeil dans le monumental poly de logique de Dehornoy (cherchez sur google) mais je vous préviens, c'est pas facile
(ou pour Ayoub, en attendant quelques semaines que le cours de première année de logique ai commencé ^^ )
Merci de vos éclaircissement !
Les propositions indécidables ne sont donc que des systèmes auto-référents ?
L'hypothèse de Riemann n'est-elle qu'une reformulation des axiomes et donc en dehors de la théorie ZF ?
Rebonjour
Pour ceux que les histoires de type Gödel intéressent, lisez donc les livres de Hoffstader: Gödel, Escher, Bach une guirlande infinie et un autre très récent mais à mon avis moins bon!
L'hypothèse du continue est indépendante de la théorie ZF (et même ZFC). J'ai entendu dire Fractal qu'elle est essentiellement fausse (dans un sens à préciser, sens que je ne connais pas évidemment). Dans certains énoncés on le considère vrai, dans la plupart on s'en moque...^^
Les propositions indécidables ne sont donc que des systèmes auto-référents ? >>> non. celle construit par Godel sont uniquement des trucs auto-référants, mais il existe des indécidable qui ne sont pas auto-référent : les suites de Goodstein par exemple (on montre qu'elles sont nul à partir d'un certain rang dans le modèle standard de Peano, mais que ce n'est pas une conséquence des axiomes de peano.
ta phrase sur l'hypothèse de riemann... ba je comprend rien ! dire que c'est "une reformulation des axiomes" ca signifirai qu'elle est démontrable, dire qu'elle est "en dehors de la théorie ZF"... ca veut pas dire grand chose, mais à la limite ca pourai vouloir dire qu'elle est indécidable dans ZF, bref le contraire de ce qu'on a dit juste avant, donc je comprend mal ce que veux dire le "donc" entre les deux ^^
dans tous les cas, prendre l'hypothèse de riemann pour parler de ce genre de choses n'est peut etre pas une bonne idée, vu que personne ne sais si elle est vrai/fausse/indécidable, et dire qu'elle est indécidable est bien défini (c'est relatif au système d'axiome dans lequel on ce place...)
si je peux me permetre, les notions de logiques que tu aborde ici me semble trop loin de ton niveau pour l'instant. ces questions philosophique que tu te pose viennent plutot du fait que tu ne maitrise pas les concepts mathématiques sous jacent. la notion d'indécidabilité est qqch de plus subtil qu'il n'y parait, en réalité il y a même plusieurs notion d'indécidabilité distinctes.
bref, tous ca pour dire que tu va chercher des choses trop compliqué : quand un truc aboutie à qqch de faux (comme la réorganisation des termes d'une serie semi-convergente) on ne "décide" pas que c'est une opération illicite : on viens de le démontrer par l'absurde.
en mathématiques, il n'y a pas de "faille" ni de "réponse pas objective". si tu trouve une faille, c'est que tu as fait une erreur, et si une question amène plusieur réponse c'est soit que tu es passé tu coté de la philosophie (personellement, j'ai rien contre les philosophes mais si tu fais de la philosophie je peux plus rien faire pour t'aider ^^ ) soit que l'une de ces réponses est fausses ^^
Oui, oubliez la 2ème question, (je me suis trompé comme je l'ai dit c'était de l'hypothèse du continue dont schumi a parlé) en effet si c'était une reformulation elle aurait été démontrable.
Merci en tout cas d'avoir répondu à la première.
Si tu veux des réponses à tes questions: 
. Télécharge le doc proposé et essaie de le lire à l'occasion (pas trop longtemps quand même )
Il existe des paradoxes en maths:
par exemple:
L'entité définie par:
LE PLUS PETIT ENTIER NATUREL QU'IL EST IMPOSSIBLE DE DÉFINIR EN MOINS DE 100 MOTS ET QUI N'A JAMAIS ÉTÉ MENTIONNE PAR UN ÊTRE HUMAIN......
n'existe pas, pourtant, il existe de tels élèments et toute partie de N possède un plus petit élément.....
pourquoi, ce paradoxe n'est-il qu'un paradoxe et non la réfutation de tout un système?
parceque la notion de "définisable en moins de 100 mots" n'est pas une notion mathématique. on à le droit de considéré "l'ensemble des x telle que P(x)" que à deux conditions :
P doit etre un predicat qu'on peut ecrire dans un language formelle.
et on doit avoir un ensemble A (ensemble au sens formelle du terme, la famille de tous les ensemble n'est pas un ensemble par exemple) et on ne peut considéré que "l'ensemble des x dans A tel que P(x)"
ici ce l'aspect "prédicat qu'on ecrit dans un language formelle qui pose problème"
dans le Paradoxe de Ruselle ie "l'ensemble de tous les ensemble qui ne sont pas element d'eux meme ce contiens t'il" (ou encore, "un Barbier rase les gens qui ne se rase pas eux meme, ce rase t'il lui meme ?" ) c'est l'autre aspect (avoir un ensemble A fixé qui soit vraiment un ensemble au sens de la théorie des ensemble) qui pose problème.
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