Mais non ! La fonction réciproque n'est pas celle là !

D'abord, avant de parler de fonction réciproque, tu dois montrer qu'elle existe ! Et pour cela vérifier si la dérivée est de signe constant, car pour qu'une fonction ait une réciproque sur un intervalle, il faut qu'elle soit monotone sur cet intervalle.

Une fois que tu auras montré cela (si tu y parviens !) il faut retourner la fonction comme une chaussette !

f fait correspondre à x,

La fonction réciproque est celle qui à y fait correspondre x.

Donc il faut essayer d'exprimer x en fonction de y !





x= ???

Cela ne semble pas facile ...

En fait la dérivée de f n'est pas de signe constant ! La réciproque sur n'existe pas !



f est donc croissante sur , décroissante sur et croissante sur

Si donc tu chercher une réciproque, tu peux chercher une réciproque sur chacun de ces trois intervalles, mais certainement pas une réciproque unique sur !

Ahhhhhhhh. Tout s'éclaire alors, en effet dans les questions précédentes on nous demande d'étudier les signes de f'(x) et la variation de f(x), choisir un intervalle ou f(x) et strictement croissante (j'avais choisi I=]-infini; 0[) et de dire que la fonction est bijective sur un intervalle J à déterminer.

J'ai trouvé pour l'intervalle J : J = ]0; e[ (en étudiant les limites des bornes de l'intervalle choisi) et on nous demandait ensuite de choisir la réciproque g(x).

Question 1 : g est-elle monotone su J ?
Question 2 : g est-elle dérivable sur J ? (d'où ma question...).

Je me doutais bien que j'avais du me planter sur la fonction réciproque, il me semblait que ln était réciproque de l'exponentielle c'est pour ca que j'avais écrit cette ânnerie.

Cependant je ne vois pas comment retourner l'expression (on a vu graphiquement que c'était la symétrie par rapport à une diagonale de 45° ...). N'y-a-t-il pas une propriété simple sur la bijection permettant de dire sans calcul que g est monotone sur J par le fait que f(x) soit bijection de I sur J ? et donc que g est dérivable sur cet intervalle ? Et sinon comment faire pour calculer cette réciproque ?

Si f est monotone sur un intervalle, elle a une réciproque sur l'intervalle image.
Si f est dérivable en d'un intervalle et a une réciproque sur l'intervalle image alors

Ces théorèmes existent ! Es-tu censé les connaître ? Ça, je ne sais pas !

Par ailleurs, pour y donné dans ]0,e], trouver l'expression de f^-1 revient à trouver x dans l'intervalle tel que . Or l'étude de f nous montre que cette équation a trois solutions parfois, une solution parfois. J'ignore comment exprimer x en fonction de y ! Il y a bien des formules pour exprimer les trois solutions d'une équation du troisième degré, assez compliquées (je ne les ai pas en tête de toutes manières), mais encore faudrait-il faire une étude sur chacune des trois formules pour savoir laquelle des 3 désigne la racine négative. En plus, pour y inférieur à 23/27 (sauf erreur) il n'y a plus qu'une seule solution, et ce serait encore une autre formule qu'il faudrait utiliser...

Mais toi, tu es en licence... Peut-être as-tu justement appris récemment ces formules...

Bon courage !

Oui donc ce sont ces 2 théorèmes qu'il fallait que je connaisse, puisque la question d'après consiste à choisir un x0 et calculer g'(f(x0)) donc 1/f'(x0).

Et non nous n'avons encore jamais déterminer d'expressions de fonctions réciproques ^^.

Merci beaucoup pour les 2 théorèmes que je n'arrivais pas à me souvenir et retrouver dans mes cours !