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Niveau école ingénieur
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simplifaction factoriel

Posté par
energie512
23-06-09 à 19:12

salut
je ne vois pas comment on peut simplifier l'expression suivante :
\frac{((2n-1)!!)((2n+2)!!)}{((2n)!!)((2n+1)!!)} 
 \\

merci pour l'aide

Posté par
olive_68
re : simplifaction factoriel 23-06-09 à 19:32

Salut

3$\fr{(2n-1)!!(2n+2)!!}{(2n)!!(2n+1)!!}=\fr{2n+2}{2n+1}=1+\fr{1}{2n+1}

Enfin j'ai jamais fais de cours la dessus donc attend quand même confirmation

Posté par
olive_68
re : simplifaction factoriel 23-06-09 à 19:35

Enfin Voilà comment ça se calcul,

3$\fr{\[(2n-1)(2n-3)(2n-5)...3\times 1\]\times [(2n+2)(2n)(2n-2)...\times 4 \times 2\]}{\[(2n)(2n-2)(2n-4)...\times 4\times 2\]\times \[(2n+1)(2n-1)(2n-3)...\times 3\times 1\]}=\fr{2n+2}{2n+1}=1+\fr{1}{2n+1}

Posté par
girdav
re : simplifaction factoriel 23-06-09 à 21:07

Bonsoir.
Je crois que c'est plus compliqué que ce qu'a écrit olive_68 car on a des factorielles doubles.
Je n'ai pas réussi à faire mieux que:
\frac{\left((2n+1)!+1\right)\left((2n+1)!+2\right)\cdots\left(2n+2\right)!}{\left((2n-1)!+1\right)\left((2n-1)!+2\right)\cdots\left(2n\right)!}

Posté par
energie512
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 09:33

euuh j'ai n'ai pas compris

Posté par
girdav
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 09:34

C'est l'énoncé brut d'un exercice ou bien une étape? Sinon on peut chercher une écriture plus intéressante.

Posté par
girdav
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 09:42

L'opérateur "factorielle double" est la composée de l'opérateur factoriel avec lui-même.
En écrivant avec les produits on a que par exemple, pour n \in \mathbb{N}^*, que
(2n-1)!! = \prod_{j=1}^{\left(2n-1\right)}j, de même pour les autres.
On essaie alors de faire apparaître des simplifications. Par exemple, \left(2n+2\right)!! est presque \left(2n+1\right)!! mis à part que l'on effectue le produit des j sur tous les entiers compris entre \left(2n+1\right)! +1 et\left(2n+2\right)!.
On fait de même pour l'autre facteur du produit initial.

Posté par
olive_68
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 13:11

Salut girdav

Bah j'ai regarder wikipédia en fait ..

Allez directement à la rubrique multifactorielle

Voici l'extrait intérressant ou plutôt que j'ai lu :

Citation :
Afin d'alléger l'écriture, une notation courante est d'utiliser plusieurs points d'exclamation pour noter une fonction multifactorielle, le produit d'un facteur sur deux (3$n!!), sur trois (3$n!!!) ou plus.

3$n!!, la double factorielle de 3$n, est définie de façon récurrente par :

3$n!!=\{1 \\ n((n-2)!!)    3$\rm \{ \ si n=0 ou n=1 \\ \ si n\ge 2

Par exemple :

3$\circ  3!!=3\times 1

3$\circ  4!!=4\times 2

3$\circ  5!!=5\times 3\times 1

3$\circ  7!!=7\times 5\times 3\times 1

3$\circ  n!!=n\times (n-2)\times (n-4)\times ... \times 4\times 2



Donc si c'est pas ça désolé ^^ ça partait d'un bon sentiment

Posté par
girdav
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 13:21

Tu as raison olive_68! J'aurais mieux fait de regarder la définition de la double factorielle avant de me lancer dans mes calculs.
Dès lors, ce que tu as fait semble correct.

Posté par
olive_68
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 13:26

Posté par
energie512
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 18:08

merci a vous

Posté par
olive_68
re : simplifaction factoriel 24-06-09 à 18:20

De rien pour ma part



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