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Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée.

Posté par steenux (invité) 01-11-06 à 17:50

Bonjour,
Je suis actuelement les cours du CNAM pour une remise à niveau professionnelle. J'ai des exos à faire et j'ai également les corrigés mais je bute sur la simplification d'une dérivée. J'ai beau essayer de retourner le problème dans tous les sens, je n'arrive pas à simplifier l'écriture ni à comprendre la correction.

Voici la fonction : y=\frac{x}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}

Pour la dérivée, je peux écrire :
y'=\frac{1*\sqrt{2x^2-2x+1}-x(\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}})}{\sqrt{2x^2-2x+1}}

Et là, je bute...

Voici la ligne suivante du corrigé :
y'=\frac{\frac{2x^2-2x+1}{1}-\frac{4x^2-2x}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}}{2x^2-2x+1}

Si j'écris y' de cette façon : y'=\frac{a-b}{c} , je comprends bien comment on trouve le b et le c mais pas le a. Je n'arrive pas à voir comment on peut passer de 1*\sqrt{2x^2-2x+1}  à  \frac{2x^2-2x+1}{1}

Merci à cellles et ceux qui pourraient me mettre sur la voie....
Pendant ce temps, je continue de chercher.
steeve.

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 17:59

je ne suis pas d'accord avec le corrigé :
en multipliant le numérateur et le dénominateur de la "grande fraction"  par \sqrt{2x^2-2x+1}, la multiplication se distribue sur la soustraction au numérateur,
on a y'=\frac{2x^2-2x+1-x(4x-2)}{2x^2-2x+1}

mais j'ai pu me planter!

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 18:00

euh... j'ai oublié de diviser par 2...
2x²-2x+1-x(2x-1)

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 18:03

il y a une autre erreur dès le départ, il faut élever au carré le dénominateur...
ma correction est donc fausse...

Posté par steenux (invité)re : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 18:36

Bonsoir,

Merci pour votre aide. Vous avez raison, j'ai oublié de mettre au carré le dénominateur de la grande fraction. Je débute avec Latex mais je mettais bien le carré sur mes feuilles.

Je vais essayer de reprendre mon raisonnement en appliquant les infos de votre 1ère réponse.

En fait, le corrigé n'est pas le vrai corrigé, ce sont les réponses d'un copain qui suis les cours du CNAM comme moi et qui m'aide mais là, son résultat ne doit pas être le bon.

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 18:41

je n'ai pas refait les calculs mais les miens sont faux car je suis partie de ton erreur... par contre, il faut bien multiplier par le racine carrée...
encore un truc, il manque aussi 2 au dénominateur....
un cnseil, "sors" 1/2 dès le début...
je vais t'envoyer un lien pour vérifier tes calculs...

bon courage!

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 18:42

en espérant que ça marche :

Posté par steenux (invité)re : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 19:20

Merci pour ton lien, il fonctionne mais je ne l'ai pas testé avec la dérivée.

J'ai un peu de mal à comprendre tes réponse 2, 3 et 4. J'essaie de trouver le raisonnement.

Déjà, avant d'aller plus loin, je voudrais m'assurer de la dérivée.

y=\frac{x}{\sqrt{2x^2-2x+1}}
Oups, je viens de m'apercevoir que je m'étais planté sur l'écriture de la fonction dans ma 1ère question, celle de ci-dessus est la bonne. Désolé.

Donc, la dérivée de ci-dessus avec \frac{u}{v}
u=x
u'=1
v=\sqrt{2x^2-2x+1}
v'=\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}

y'=\frac{1*\sqrt{2x^2-2x+1}-x(\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}})}{\sqrt{2x^2-2x+1}^2}

Est ce correct ?

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 19:26

oui, je crois que c'est bon cette fois... (a)=a par définition...
tu peux aussi factoriser 2 dans 4x-2 pour simplifier....

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 19:27

euh... (a)²=a
j'ai oublié le carré!

Posté par steenux (invité)re : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 19:50

OK, je te suis et j'y vais pas à pas :

y'=\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}-x(\frac{2(2x-1)}{2\sqrt{2x^2-2x+1}})}{\sqrt{2x^2-2x+1}^2}

Là, je peux simplifier la fraction du numérateur par 2 ?
Et au dénominateur principal, j'applique \(sqrt{a})^2=a

y'=\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}-x(\frac{2x+1}{\sqrt{2x^2-2x+1}})}{2x^2-2x+1}

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 19:53

ok, réduis au même dénominateur "en haut"....

Posté par steenux (invité)re : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 20:33

C'est parti mais j'arrive à une fin un peu bizarre ???

y'=\frac{\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}}{1}-\frac{x}{1}(\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}})}{2x^2-2x+1}

y'=\frac{\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}}{1}-\frac{2x^2+x}{\sqrt{2x^2-2x+1}}}{2x^2-2x+1}

y'=\frac{\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}^2-2x^2+x}{\sqrt{2x^2-2x+1}}}{2x^2-2x+1}

y'=\frac{\frac{2x^2-2x+1-2x^2+x}{\sqrt{2x^2-2x+1}}}{2x^2-2x+1}


Là, ça se corse un peu !! je vais appliquer : \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}

y'=\frac{-x+1}{2x^2-2x+1*\sqrt{2x^2-2x+1}

Je me suis relu mais une coquille à pu se glisser dans ma saisie de Latex.

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 21:35

pour moi, c'est bon...
tu peux vérifier sur le site...

Posté par steenux (invité)re : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 21:46

merci, je vais aller vérifier sur le site.

On ne peut pas simplifier encore ? ça ne vas pas être simple de vérifier que 2x^2-2x+1*\sqrt{2x^2-2x+1}=0 !!

Je vais essayer qunad même.

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 22:07

surtout ne pas "simplifier"
ou bien remarquer que a=a1/2
et donc aa=a*a1/2=a3/2

mais c'est sans intérêt car on veut en fait le signe de la dérivée...
la racine carrée étant positive, il suffit de connaître le signe de 2x²-2x+1 qui est positif puisqu'on en prend la racine carrée(je suppose que celà a déjà été étudier avant!)

bonne suite!

Posté par steenux (invité)re : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 22:49

Pas mal ton lien ansi que le site du calculateur wins

Merci pour ton aide, je ne connaissait pas le \sqrt{a}=a^{1/2}

Je vais maintenant terminer l'exo et le refaire sans regarder mes feuilles par ce que là ,c'est pas très net dans ma tête. le plus dure est passé maintenant. Pour remplir les tableaux de signes et de variation, je n'ai qu'à reprendre les résultats des études amonts, Df, limites, asumptotes...

Encore merci et bonne soirée.
Steeve.

Posté par
garnouillere : Simplification de l'écriture d'une fonction dérivée. 01-11-06 à 23:12


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