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Simplification fonction circulaire réciproque

Posté par
Julot777 30-09-09 à 17:21

Bonjour !

J'ai eu un exo à chercher qui est le suivant :

Citation :
Simplifier : 5$Arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)


Ne voyant pas de paramétrage évident, même en simplifiant (en multipliant par l'expression conjuguée...), j'ai donc dérivé, intégré (etc...), et trouvé que
5$Arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac{1}{2}Arcsin(x^2)=-\frac{1}{2}Arccos(x^2)

Ok pour mon prof, maintenant il me demande d'utiliser une autre méthode : en posant 5$x=\sqrt{cos t} pour x positif, et 5$x=-\sqrt{cos t} pour x négatif (sachant bien sûr que la valeur absolue de x ne peut dépasser 1).

Et là, problème, j'arrive pas à simplifier pour trouver le même résultat !

Même en remplaçant 5$1+cos t et 5$1-cos t par 5$2cos^2\left(\frac{t}{2}\right) et 5$2sin^2\left(\frac{t}{2}\right)...

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 17:48

bonjour

déjà, la grande formule que tu as trouvée ne peut être juste (essaye avec x=0)

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 17:51

(n'oublie pas que quand tu primitives, c'est toujours à une constante près)

pour la seconde méthode

cela ne te donnerait-il pas un truc du genre ((1-tan(a))/(1+tan(a))) à l'intérieur de l'arctangente ?

et que penses-tu de tan(pi/4 - a) ?

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 17:55

Oui exact, ça marche pas pour Arccos...

En fait au départ j'avais juste mis la première égalité sans le Arccos... En regardant de nouveau tout à l'heure, j'ai fait l'erreur de croire que c'était égal à la formule avec le Arccos. Mille excuses.

Enfin bref, imaginons qu'on efface cet "Arccos" qui ne fonctionne pas !

Une petite aide ?

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:00

il pourrait fonctionner si tu avais primitiver correctement ! Il y a des constantes d'intégration et on les calcule avec une valeur particulière de x...

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:04

Oui c'est exact, j'ai oublié la constante d'intégration pour la seconde.

On trouve finalement : 5$Arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac{1}{2}Arcsin(x^2)=-\frac{1}{2}Arccos(x^2)+\frac{\pi}{4}

Pour la seconde méthode, je suis en train de calculer pour trouver comme toi, je vais voir...

Merci beaucoup en tout cas de te pencher sur mon problème.

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:05

bien rectifié

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:13

J'en suis à 5$Arctan\left(\frac{1+tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}{1-tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}\right)

Je peux en arriver à ton résultat ?

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:14

Rectification : 5$Arctan\left(\frac{1-tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}{1+tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}\right)

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:14

Décidément : 5$Arctan\left(\frac{1-tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}{1+tan^2\left(\frac{t}{2}\right)}\right)

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:16

non ! tu t'es planté dans le calcul je crois

les tangentes ne sont pas au carré

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:18

Ok, je recalcule, parce qu'en plus j'ai du 5$\frac{t}{2} dans les tangentes...

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:26

Bizarrement, je retrouve la même chose : je vais essayer de détailler mon calcul en latex (ça risque de prendre un peu de temps, 5 minutes...).

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:31

En prenant 5$x=\sqrt{cos t} on obtient :

5$Arcsin\left(\frac{\sqrt{1+cos t}-\sqrt{1-cos t}}{\sqrt{1+cos t}+\sqrt{1-cos t}}\right)

Ou encore (formules trigo) :

5$Arcsin\left(\frac{\sqrt{2cos^2\left(\frac{t}{2}\right)}-\sqrt{2sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}}{\sqrt{2cos^2\left(\frac{t}{2}\right)}+\sqrt{2sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}}\right)

Déjà, est-ce que c'est juste jusqu'ici ?

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:36

oui

continue

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:41

Merci beaucoup :

Ensuite :

5$Arcsin\left(\frac{2cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-2sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}{2cos^2\left(\frac{t}{2}\right)+2sin^2\left(\frac{t}{2}\right)+2\sqrt{4cos^2\left(\frac{t}{2}\right)sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}}\right)

5$=Arcsin\left(\frac{2cos t}{2\times1+2\sqrt{1-cos^2 t}}\right)

Sauf erreur ?

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:42

Ensuite, on a :

5$Arcsin\left(\frac{cos t}{1+sin t}\right)

C'est sûrement par ici qu'il doit y avoir une erreur...

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:44

mais pourquoi tu te compliques la vie ????

reprends ton expression de 18:31

déjà tu la simplifies par racine(2)

ensuite : tes cosinus et sinus de t/2 sont positifs non ?
donc la racine de leur carré est égale à eux-mêmes !

ensuite divise en haut et en bas par cos(t/2)

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:52

Oui c'est vrai... beaucoup plus simple comme ça.

Donc à partir de l'expression de 18:31, on a :

5$Arcsin\left(\frac{cos t/2 - sin t/2}{cos t/2 + sin t/2 \right)

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:55

Donc 5$Arctan\left(\frac{1-tan\frac{t}{2}}{1+tan\frac{t}{2}}\right)

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 18:56

oui !

maintenant regarde mon post de 17:51

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:01

Très joli ! On retrouve effectivement l'expression dans le Arctan en prenant 5$tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:03

ouiiii !

et faut voir : si l'angle A est bien entre -pi/2 et pi/2... arctan(tan(A))=A

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:06

C'est le cas puisqu'on doit avoir t entre -\pi sur deux et \pi sur deux pour avoir cos t entre -1 et 1... donc \pi sur quatre - t sur deux est un angle convenable

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:07

oui... donc

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:08

D'où 5$Arctan\left(tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:08

remarque : cos(t) est même positif puisque cos(t)=x² ou (-x)² avec ton changement de variable

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:09

et voilà...

et comme t=arccos(x²) ... cela te donne ?

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:13

(oui exact pour le cos t positif...)

5$Arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{Arccos(x^2)}{2}

L'expression de départ.... Maintenant j'ai plus qu'à faire pour x négatif...

Eh bien merci beaucoup pour ta patience MatheuxMatou ! Ce fut un réel plaisir !

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:14

pour moi aussi

bonne soirée

alain

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:15

Au passage, j'ai l'impression que la méthode 1 est plus "sûre" puisqu'uniquement calculatoire, tandis que la méthode 2 est beaucoup plus intuitive... Je ne pense pas que j'aurais pu trouver un tel paramétrage... Est-ce normal ?

Posté par
MatheuxMatoure : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:16

tu as tout à fait raison.

ce genre d'astuce ne vient qu'avec l'entrainement... ou une fois qu'on a le résultat par la première méthode !

Posté par
Julot777re : Simplification fonction circulaire réciproque 30-09-09 à 19:19

Ca me rassure... Eh bien merci encore ! Et bonne soirée


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