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Solution d'une ED
Bonsoir tout le monde.
J'aurai besoin de vos conseils pour la dernière question d'un exercice que voici :
*** <--- ICI ^^
Je bloque donc sur la dernière question j'ai réussi à tout montrer avant ( bon ok c'était pas bien dur 
)
J'ai donc comme acquis :
à l'équation :) avec f(x) une fonction continue définie sur R
les solutions sont les fonctions définies sur R où g(x) définie comme dans l'énoncé et lambda et mu réels
On suppose f paire.
On veut montrer que (E) admet une solution impaire sur R sssi f=0
Je vois pas trop comment attaquer ça... J'ai essayé un peu par analyse synthèse mais je patauge.
De plus si je raisonne dans l'autre sens, c'est a dire si en effet je suppose que f=0 je me retrouve alors avec comme solutions celles de l'équation homogène associée qui sont les fonctions et c'est pas une fonction impaire le ch étant pair et le sh étant impair...
Bref merci d'avance de m'aider un poil ^^
édit Océane : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum
Bonjour tout le monde.
Je vous propose un petit exo pour lequel j'ai quelques soucis pour la dernière question.
ENONCE :
Soit une fonction continue. On s'interesse ici à l'équation diff
(E) : y''-y = f(x)
dont on cherche les solutions sur R à valeurs dans R.
1) Montrer que les solutions de l'équation homogène associée sont les fonctions de la forme
avec lambda,mu réels.
Ca c'est bon
2) Montrer que la fonction g : R \mapsto R définie pour x réel par
est solution de (E) sur R. En déduire l'ensemble des solutions de (E) sur R.
Ca c'est bon et donc on en déduit que les solutions de (E) sont les fonctions définies sur R de la forme
h :
3) On suppose f paire. Montrer que (E) admet une solution impaire sur R sssi f=0
Je vois pas trop comment attaquer ça... J'ai essayé un peu par analyse synthèse mais je patauge.
De plus si je raisonne dans l'autre sens, c'est a dire si en effet je suppose que f=0 je me retrouve alors avec comme solutions celles de l'équation homogène associée qui sont les fonctions de la forme
et c'est pas une fonction impaire le ch étant pair et le sh étant impair...
Bref merci d'avance de m'aider un poil ^^
*** message déplacé ***
Hey !
C'est le come back et je crois j'ai trouvé la réponse je vous la soumet !
( Acquis f est paire )
ANALYSE/SYNTHESE
ANALYSE
Supposons que que (E) admette une solution h impaire sur R.
On a alors
h'(x) paire
h''(x) impaire ( très facile à prouver on écris la définition de l'imparité on dérive l'égalité et c'est gagné )
De plus h''(x)-h(x) = f(x) puisque h solution de (E)
Mais h''(x) - h(x) est une composée de fonctions impaire donc elle est impaire !
On se retrouve avec f(x) à la fois paire et impaire c'est donc forcemment la fonction nulle ( la seule fonction à la fois paire et impaire ).
Cela force donc si h est une solution impaire de (E) alors f=0
Par contre je ne saurai pas dire quelle est cette fonction mais en même temps est ce que c'est vraiment demandé ?
Rapidement et de manière un peu batarde je dirai que si f=0 alors les solutions de (E) sont
A*ch(x) + B*sh(x) ( voir justification plus haut )
Et pour que cette fonction soit impaire il faut que A = 0 !
Qu'en pensez vous ?
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