Bonjour

je travaille sur un problème où, dans un premier temps, on cherche une solution développable en série entière de l'équation différentielle

(E₀) 3(x²+x)y''+(8x+3)y'+2y=0

On donne comme condition initiale y(0) = 1

Et on demande sur quel intervalle cette solution est définie

J'ai supposé qu'il existe une telle fonction f avec f(x) = a_nxⁿ

Avec la condition initiale, j'ai trouvé que a₀=1
a₁=-2/3

puis a₂=5/9 et
a₃=-40/81

et une relation de récurrence entre les a_k qui dit que
a_k=-[3(k-1)(k-2)+8(k-1)+2]a_k-1/(3k²)

D'abord j'espère ne pas m'être trompée.
Ensuite, je cherche à prouver que les a_k sont les coefficients du développement en série entière de la fonction f: x(1+x)^-2/3, mais je ne sais pas comment faire.

Je ne sais pas non plus répondre à la question concernant l'intervalle de validité de cette solution.

Telle est ma pataugeoire... Donc si vous avez des pistes pour m'éclairer dans mes lacunes, vous êtes les bienvenus

Très bonne soirée et merci.