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somme d'une série

Posté par
PnR 18-09-09 à 17:50

Bonjour à tous !

J'ai un petit problème, je n'arrive pas à résoudre un exercice :

Je dois montrer que la série de terme général Un=(-1)nln(1+\frac{1}{n}) converge (je l'ai montré grâce au théorème des suites altérnées).

Je dois ensuite calculer la somme de cette série. Voilà ce que j'ai fait :

Soit Sn=\sum_{k=1}^{2n} (-1)^n\times ln(1+\frac{1}{n})

Sn=\sum_{p=1}^{n} ln(\frac{2p+1}{2p}) - \sum_{p=1}^{n} ln(\frac{2p}{2p-1})

Sn=ln(\prod_{p=1}^{n} \frac{(2p+1)\times(2p-1)}{2p})

Et là, je bloque... je sais que je dois trouver Sn=ln(\frac{2}{\pi})

A vrai dire, en transformant les produits en factorielles, puis en utilisant la formule de Stirling, j'arrive bien à quelque chose... mais ce quelque chose est faux...

Si donc quelqu'un pouvait m'éclairer, ce serait gentil !

D'avance, merci !

Posté par
girdavre : somme d'une série 18-09-09 à 18:18

Bonjour.
Je crois que l'écriture sous forme de factorielle peut mener au bout.Pour la limite en +\infty je crois que la formule de Stirling peut nous mener au but.

Posté par
PnRre : somme d'une série 18-09-09 à 18:24

Oui, il me semble aussi.

Voilà ce que je trouve comme écriture sous forme factorielle (je pense que c'est ici qu'est mon erreur...):

Sn=ln(\frac{((2n+1)!)^2}{2^{3n}\times(n!)^3\times(2n+1)})

...

Posté par
PnRre : somme d'une série 18-09-09 à 18:34

A chaque fois que je refais l'exo, je tombe sur la même forme de Sn, mais je n'arrive pas à me débrouiller avec ça. Quelqu'un pourrait-il me guider?

Posté par
raymond Correcteurre : somme d'une série 18-09-09 à 18:37

Je trouve :

3$\textrm S_{2p} = \fra{[(2p)!]^2(2p+1)}{2^{4p}(p!)^4}

3$\textrm S_{2p+1} = \fra{[(2p+1)!]^2}{2^{4p}(p!)^4(2p+2)}

J'ai testé les deux résultats pour p = 5

Posté par
raymond Correcteurre : somme d'une série 18-09-09 à 18:37

J'ai oublié les logarithmes !!! Désolé.

Posté par
PnRre : somme d'une série 18-09-09 à 18:41

Si je comprend bien, tu as fait simplement la sommes de termes impairs et des termes pairs ? Je vais essayer de voir si je trouve la même chose.

Et ensuite, que faire ? Je simplifie tout en regroupant dans le logarithme népérien ?

Posté par
raymond Correcteurre : somme d'une série 18-09-09 à 18:46

Oui parce que ces sommes présentent des différences :

(2p+1) au numérateur pour la première

(2p+2) au dénominteur pour la seconde

Je ne vois que la comparaison avec les intégrales de Stirling.

Posté par
PnRre : somme d'une série 18-09-09 à 18:50

S2p=\sum_{p=1}^n ln(\frac{2p+1}{2p})
Donc :
S2p=ln(\prod_{p=1}^n \frac{2p+1}{2p}) (c'est bon ça non ?)

Ensuite :
3*5*7*...*(2n+1) = \frac{(2n+1)!}{2^n * p!} (et àa, c'est bon ?)

Je fais de même avec le produit des 2p...

Posté par
raymond Correcteurre : somme d'une série 18-09-09 à 18:53

Attention tu as oublié les (-1)k : la fraction s'inverse une fois sur deux.

Tu as intérêt à écrire un bon nombre de termes pour voir comment cela se développe.

Posté par
PnRre : somme d'une série 18-09-09 à 18:55

Mais non, là j'ai pris justement que la somme des termes qui ont un indice pair dans la première somme !

Je crois qu'on se comprend mal...

Je patauge depuis 2 hures maintenant. Je ne comprend vraiment pas du tout ce qu'il faut faire. Mon premier post montre bien que j'ai compris comment la somme se développe je crois.

Posté par
raymond Correcteurre : somme d'une série 18-09-09 à 18:57

Quand je calcule S5 cela signifie :

S_5 \ = \ u_1+u_2+u_3+u_4+u_5


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