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somme d'une série de fonctions
Bonjour,
Voici mon sujet:
xn(n3+n+3)/(n+1) où n
0
1/On nous demande en première partie la convergence simple de la série: la série de fonctions converge simplement sur l'intervalle ]-1;1[.
2/La deuxième question porte sur la somme de cette série.
On a f(x)= xn(n3+n+3)/(n+1)
<=> xf(x)=xn+1(n3+n+3)/(n+1)
donc d(xf(x))/dx = (n3+n+3)xn
On sait que:
xn=1/(1-x) car série géométrique
nxn-1=1/(1-x)²
xn+1/(n+1)=-ln(1-x)
D'où
(n+1)xn=1/(1-x)²
Puis (n+2)(n+1)xn=2/(1-x)3
et (n+1)(n+2)(n+3) xn=6/(1-x)4
Ma première question est: qqun peut m'expliquer le raisonnement ci-dessus svp ?
On doit ensuite écrire (n3+n+3) sous la forme a(n+3)(n+2)(n+1)+ b(n+2)(n+1)+ c(n+1)+d
j'ai trouvé que a=1 b=-6 c=8 et d=5 (est-ce juste ?)
==> d(xf(x))/dx= 6a/(1-x)4+2b/(1-x)3+c/(1-x)²+d/(1-x)
que l'on doit intégrer pour trouver xf(x), et ensuite f(x)(qui est le résultat de la somme de la série).
Je pense avoir trouver le résultat mais avant de l'écrire j'aimerais avoir l'avis d'une autre personne lol.
salut
il s'agit de d'obtenir le coeficiant de et
tel que l'exige le sujet ds la somme.
pour la deuxieme si t'as pas fais de faute de calcul tu devrais trouver les bonnes reponse
euh j'avoue ne toujours pas comprendre le raisonnement cité plus haut...
je souhaiterais savoir si qqun a pu trouver un resultat et dans ce cas je pourrais comparer avec le miens ...qui je pense est faux...
je vois il s'agit de calculer la somme grace au developpement d'une fonction connue.
posons une fonction infiniment derrivable.
et prenon
naturel. tu vois bien que
,
où
est une suite dont tu peux facilement trouver l'expression c'est un polynome en
.
en applicant notre suite pour r=n sous la somme,on peut par les trois etapes de la question une trouver la somme en fonction des expressions des fonction trouvés à chaque etape
ce que j'ai pas compris c'est ca:
D'où
(n+1)xn=1/(1-x)²
Puis (n+2)(n+1)xn=2/(1-x)3
et (n+1)(n+2)(n+3) xn=6/(1-x)4
et non la partie avec les "a,b,c et d" lol
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