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Somme d'une série entière

Posté par
Maitreidmry 24-01-10 à 13:24

Bonjour,

J'ai besoin (pour un calcul de probabilité) de la valeur de la somme de :

\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{16^{n}}{2n \choose n}^{2}) z^{2n}

J'ai déjà une expression pour \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{4^{n}}{2n \choose n}) z^{2n}=\frac{1}{sqrt{1-z^{2}}}.

Quelqu'un a-t-il une idée pour la calculer ?

Merci beaucoup

Posté par
gui_toure : Somme d'une série entière 24-01-10 à 13:49

Salut,

Si on sait que 3$\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\(2n\\n\)\(\fr{x}{2}\)^{2n}=\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}, regarde ce que ça donne pour x=z/2.

Posté par
Maitreidmryre : Somme d'une série entière 24-01-10 à 14:06

Mais il y a en plus un carré devant le coefficient binomial...

J'ai essayé avec Maple : miracle, il sait calculer la 2ème somme !
Et pour la première, il me renvoie :

\frac{LegendreP(-\frac{1}{2},\frac{1+z^2}{1-z^2})}{\sqrt{1-z^2}}

LegendreP correspond j'imagine aux polynômes de Legendre... Qu'en pensez-vous ?

(en fait, seule la valeur en 1 de 1-\frac{1}{f(z)}, où f(z) désigne la 1ère somme, m'intéresse (la série entière converge normalement sur [-1;1]).
Si cette valeur est 1, c'est gagné !

Posté par
Maitreidmryre : Somme d'une série entière 24-01-10 à 14:43

En fait, cela revient à calculer :

Somme d\'une série entière


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