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Somme d'une suite..

Posté par
pnpk 01-11-08 à 13:30

Bonjour,
Alors voici mon problème.
J'aimerai pour poursuivre un exercice expliciter une somme, mais je n'arrive pas a trouver une conjecture..

voici la somme : \fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}~\frac{i}{2^i}}

Merci d'avance,
pNpk

Posté par
infophilere : Somme d'une suite.. 01-11-08 à 14:42

Bonjour

Je te propose de réduire tout au même dénominateur 2^n

Ainsi au numérateur la nouvelle somme à calculer est \Bigsum_{k=1}^{n}k2^{n-k}

Un changement de variable te ramène à \Bigsum_{k=0}^{n-1}(n-k)2^k=n.\Bigsum_{k=0}^{n-1}2^k-\Bigsum_{k=0}^{n-1}k2^k

La première somme est géométrique donc facile à calculer. Quant à la deuxième c'est un cas particulier de la somme en kx^k qui est un classique, traité par exemple ici : Somme des kx^k

Au final tu devrais trouver \fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}

Sauf erreur

Posté par
gui_toure : Somme d'une suite.. 01-11-08 à 14:47

Salut !

On peut voir 3$\Bigsum_{i=1}^ni.2^{-i comme une dérivée ... je m'explique.

Je pose (pour x>1 , n dans IN*) 3$f_n(x)=\fr1x+\fr{1}{x^2 }+..+\fr{1}{x^n}=\Bigsum_{i=1}^nx^{-i}={4$\fr1x\times\fr{\fr{1}{x^n}-1}{\fr1x-1}=\fr{\fr{1}{x^n}-1}{1-x}=\fr{1-x^n}{x^n(1-x)}

f est dérivable sur 3$]0,+\infty[ et 3$f_n'\ (x)=-\fr{1}{x^2}-\fr{2}{x^3 }-..-\fr{n}{x^{n+1}}=\Bigsum_{i=1}^n-ix^{-i-1}={4$\fr{-nx^{n-1}(x^n-x^{n+1})-(1-x^n)(nx^{n-1}-(n+1)x^n)}{x^{2n}(1-x)^2}

et 3$x\times f_n'\ (x)=\Bigsum_{i=1}^n-ix^{-i}

on remarque que 3$-2f_n'(2)=\Bigsum_{i=1}^ni.2^{-i

donc on remplace x par 2 dans l'expression moche de f ' :

{4$\fr{-n.2^{n-1}(2^n-2^{n+1})-(1-2^n)(n.2^{n-1}-(n+1)2^n)}{2^{2n}(1-2)^2}=...

je te laisse simplifier l'expression

Posté par
gui_toure : Somme d'une suite.. 01-11-08 à 14:47

Salut ma biche

Posté par
infophilere : Somme d'une suite.. 01-11-08 à 14:49

Tcho ma poule !

Posté par
pnpkre : Somme d'une suite.. 01-11-08 à 17:51

Merci pour vos réponses..
J'avais tenté une méthode comme celle de gui_tou sans aboutir..
Le bon point, c'est que les deux méthodes proposées donnent le même résultat.
En tout cas, merci a vous deux !


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