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Somme de 1/k^k

Posté par
PapaYoun 26-10-08 à 18:48

je voudrais montrer que

k=1 1/kk = 01 dx/xx

Quelqun aurait il une idée? merci d'avance

Posté par
gui_toure : Somme de 1/k^k 26-10-08 à 19:02

Bonsoir

4$\fr{1}{x^x}=e^{-x\ell n(x)}=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\fr{(-1)^n(x\ell n(x))^n}{n!}

puis théorème de permutation de 3$\Bigint et 3$\Bigsum (avec justifications )

Posté par
gui_toure : Somme de 1/k^k 26-10-08 à 19:20

Je détaille

3$\Bigint_0^1\fr{dx}{x^x}=\Bigint_{]0,1]}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}f_n\times\fr{1}{n!} avec 3$f_n(x)=(-1)^n(x\ell n(x))^n

Les 3$f_n sont continues par morceaux ; la série 3$\Bigsum f_n converge simplement vers une fonction cpm sur ]0,1].

Les 3$f_n sont intégrables et 3$\Bigint_{]0,1]}|f_n|=\Bigint_{]0,1]}(-1)^nx^n\ell n^n(x)dx

Or 3$\Bigint_{\epsilon}^1x^n\ell n^n(x)dx=\[\fr{1}{n+1}x^{n+1}\ell n^n(x)\]_{\epsilon}^1-\fr{n}{n+1}\Bigint_{\epsilon}^1x^n\ell n^{n-1}(x)dx

Donc quand 3$\epsilon\to0,\;\Bigint_{]0,1]}x^n\ell n^n(x)dx=-\fr{n}{n+1}\Bigint_{]0,1]}x^n\ell n^{n-1}(x)dx

Donc on se retrouve avec 4$\Bigint_{]0,1]}x^n\ell n(x)^ndx=(-1)^n\fr{n}{n+1}\fr{n-1}{n+1}...\fr{1}{n+1}\Bigint_0^1x^ndx=\fr{(-1)^nn!}{(n+1)^{n+1

Il vient donc 3$\Bigint_0^1|f_n(x)|dx=\fr{1}{(n+1)^{n+1}} et 3$\Bigsum\Bigint_0^1 |f_n| converge.

Par le théorème d'intégration terme à terme, on obtient :

3$\Bigint_{]0,1]}\fr{dx}{x^x} est définie et 3$\Bigint_0^1\fr{dx}{x^x}=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\Bigint_0^1f_n(x)dx=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\fr{1}{(n+1)^{n+1}}

Posté par
PapaYounre : Somme de 1/k^k 26-10-08 à 21:04

Merci beaucoup gui_tou, c'est joli comme démo. Si tu aimes la topologie regarde dans ce forum le sujet dual d'un espace lp, j'ai une petite question pour toi , merci encore, bonne soirée

Posté par
gui_toure : Somme de 1/k^k 26-10-08 à 21:08

De rien

Ah je n'y connais rien en topologie ^^


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