Niveau Maths sup

Somme de Riemann

Posté par
d4-fr3sh 28-05-09 à 18:18

Bonjour j'ai une question qui me tracasse

calculer la limite en +

lim [1/ncos²(k/n)]

je sais que je dois uiliser Riemann mais je ne vois pas comment ici...

Deja je n'ai pas compris comment passer dune limite de somme à une intégrale
... J'étais au mine et le cours a été fait pendant mon absence.

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 18:33

lim 1/n * cos²(k/n)

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 18:55

Bonjour.
Quelles sont les bornes de ta somme?
Sinon, pour "expliquer" le passge d'une somme à une intégrale, on peut dire que, dans le cas général, $\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)$ est "la somme des rectangles", donc (intuitivement) la limite de cette expression pour $n$ qui tend vers l'infini est $\int_a^b{f(t)dt}$ .
On applique ceci à ton cas: qui est $f$ , $a$ et $b$ ?

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 22:10

je suppose que k va de 0 à n
donc k/n est une subdivision régulière de [0,]
donc
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n cos^2(\frac {k \pi}{n})= \int_0^\pi cos^2(x) dx$
Pour les sommes de Riemann, voir :

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 23:08

ca va de 0 a n-1. mais comment sais tu que c'est sur [0,pi] ?

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 23:23

OK, ça va de 0 à n-1, de manière à avoir n termes régulièrement espacés, et c'est sans doute la définition de la somme de Riemann, mais si tu rajoute un seul terme, ça ne change pas la limite, vu que le tout est divisé par n...

Donc... pour k allant de 0 à n (ou n-1 peu importe), k*pi/n va de 0 à pi, par (petits) pas de 1/n... donc la limite des sommes de Riemann est l'intégrale de 0 à pi...

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 23:27

Les petis pas sont de $\frac{\pi}{n}$ .
Donc c'est $\int_0^1{\cos^2 t dt}$

Posté par re : Somme de Riemann 28-05-09 à 23:36

Ouh, je m'a emballé grave! Non seulement les pas sont de pi/n, mais...
J'ai oublié qu'il y a un facteur (b-a) dans la somme de Riemann...
donc on obtient par les sommes de Riemann :

+ soit en considérant les bornes 0 et pi
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^n cos^2(\frac {k \pi}{n})= \int_0^\pi cos^2(x) dx$
ou encore :
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n cos^2(\frac {k \pi}{n})= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi cos^2(x) dx$

+ soit en considérant les bornes 0 et 1
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n cos^2(\frac {k \pi}{n})= \int_0^1 cos^2(\pi x) dx$

ce qui revient au même par changement de variable
(j'espère que cette fois-ci c'est la bonne, sinon, je rends mon tablier et je vais faire maître-nageur)

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