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Somme et équivalent

Posté par
fifou12 14-09-09 à 19:35

Bonsoir à Tous ! J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour ce qui suit ( par avance merci )

Soit x > 0, Déterminer lorsque n tend vers + l'infini, un équivalent de

Somme de k=1 à n de E(kx)              [partie entière de kx]

Je ne vois pas trop comment m'y prendre tout en supposant que je dois trouver une suite telle que la limite en + infini de la somme / la suite soit 1. ( seule piste mais non abouttie )

Une idée pour l'un d'entre vous ? =)

Posté par
girdavre : Somme et équivalent 14-09-09 à 20:10

Bonjour.
Un encadrement sur la partie entière doit débloquer la situation.

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 20:50

j'y avais pensé aussi en partant de
kx =< [kx] =< (k+1)(x) .. est-ce ceci qui doit débloquer la suite ? si oui je la trouve tjr bloqué :/

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:03

déjà, le départ est faux FiFou :

A-1 < E(A) A

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:04

donc si tu veux appliquer cela, tu as :

kx-1 < E(kx) kx

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:15

j'ai ajouté le sigma devant vu que tout est positif !

J'ai essayé de développer les sigma ! Par équivalence, puis-je trouver quelque chose du genre :

.... ( ce qui est demandé dans l'énoncé ) équivalent à nx en + l'infini ?

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:18

quand tu sommes ces inégalités pour k variant de 1 à n, (qu'est ce que c'est que cette histoire de "tout positif" ?????), tu obtiens quoi ?

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:21

ah oui en effet pour k = 0 , on a kx - 1 négatif !

Donc on ne peut sommer cette inégalité ... Je ne sais pas comment partir alors ! Surtout pas comment arriver à une équivalence ? j'aimerai juste des pistes pour pouvoir finir tout seul mais je t'assure je ne vois pas du tout ou je vais avec cette inégalité !

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:24

:?:?:?:?:?:?:?

mais qu'est ce que c'est que cette histoire de termes positifs pour sommer des inégalités de même sens ????

a<b et c<d donne a+c < b+d ... pour tout a,b,c,d réels !!!! non ?

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:38

d'accord ! pas de pb pour ça alors ! :/:/:/

Mais la suite ?

Somme de k=1 à n de kx-1 < somme de k=1 à n de E(kx) < somme de k=1 à n de kx !

Comment déterminer des équivalences avec des inégalités ?

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:40

calcule les sommes des membres de gauche et de droite !!!!

Posté par
miltonre : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:42

salut
calcule ta somme et  deduis en un encadrement du quotien puis conclus

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 21:43

4$\sum_{k=1}^n(kx-1) < S_n \le \sum_{k=1}^n(kx)

où j'appelle Sn la somme dont tu veux calculer un équivalent

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:04

alors ????
sépare la somme de gauche en deux sommes
et x est bloqué... il sort de la somme
pas trop dur non ?

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:22

ok je te suis mais je vois pas ou j'en déduis l'équivalent ? :$

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:23

tu veux être arrivé avant d'être passé par les étapes intermédiaires !

si tu ne vois pas, raison de plus pour me faire confiance et faire ce que je te demande... on ne sait jamais, peut-être que je suis en train de te guider vers la solution !!!

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:27

j'ai SN compris entre X fois n(n-1)/2 et X fois n(n+1)/2

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:27

Oui je sais bien que tu m'y guide et je t'en remercie encore mais je vois pas trop ou dois-je arriver ! Voilà cidessus ce que j'obtiens !

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:27

non pour le membre de gauche (x n'est pas en facteur du tout !) et oui pour le membre de droite

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:29

exact pour gauche c'est x fois n(n+1)/2      - n

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:30

exact

maintenant divise ta chaine d'inégalité par x*n*(n+1)/2

on suppose bien sûr que x n'est pas nul sinon le problème est trivial (Sn est toujours nulle !)

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:33

donc à gauche g -2n * (x*n(n+1)) au milieu SN / x*n*(n+1)/2 à droite 1

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:35

si on trouvé une limite 1 a gauche ce sré pas mal non ? ^^

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:36

pas du tout d'accord pour le membre de gauche

(et si on utilisait le Latex, ce serait plus lisible !)

à 22:39, tu avais bien :

3$\frac{x.n.(n+1)}{2}-n < S_n \le \frac{x.n.(n+1)}{2}

??

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:36

OUI

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:38

bon, alors divise correctement dans chaque membre par \frac{x.n.(n+1)}{2}

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:38

je pense que j'y suis =)

j'ai 1 - 2/x(n+1) à gauche ! CORRECT ?

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:40

ah ben je préfère !

passe à la limité maintenant

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:40

ça ferait une limite en plus infini de 1 a droite et gauche donc milieu limite =1 par théorème d'encadrement d'ou l'équivalence !!!
Je pense que je suis au bout
Merci du temps que tu m'a conssacré ! Je pense que j'en retirerai bcp =)
Bonne soirée à toi ! et encore merci

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:41

je suis content de t'avoir été utile...

on conclue quand même ?

Sn est donc équivalent à ...?...

Posté par
fifou12re : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:42

x*n*n+1 / 2    MERCI

Posté par
MatheuxMatoure : Somme et équivalent 14-09-09 à 22:43

bonne fin de soirée à toi

MM


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