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Somme et produit.

Posté par
rivyn69200 01-12-13 à 14:09

Voici l'énoncé de mon exercice:

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
On pose wn=e(2i)/n.

1) On pose Sn=(n  1k=0) wkn. Déterminer la valeur de Sn.

2)On pose Tn=(n  1k=0) wnk.Déterminer la valeur de Tn.

3)On suppose que n2.
soit k[1,n-1]. Quelle relation existe-t-il entre wnk et 1/wnk, en déduire la valeur de Un pour Un=(n  1k=1) 1/wnk.

4) soit (a,b)².

a) Calculer (n  1k=0) (a + wnk b , en déduire l'inégalité n/a/ (n-1k=0) /a+wnk b/

b)Établir l'inégalité n/b/ (n  1k=0) /b + wnk a/

c) vérifier que pour tout k [0,n-1]: wnk (barre)= wnn-k.
Montrer alors que: (n-1k=0) /b + wnk a/ = (n-1k=0) /a + wnk b/ . et en déduire /a/ + /b/ 2/n (n-1k=0) /a + wnk b/

Notre prof nous à donné cette exercice qui prolonge notre programme, nous n'avons pas commencé les sommes / produits  et je ne comprend rien à cette exercice ce dm facultatif nous à été pour nous entraîner et j'aimerais bien le comprendre.

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 14:25

Bonjour,

1) C'est la somme d'une suite géométrique : (1-raison^{nombre de termes})/(1-raison) si la raison est différente de 1.

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 14:58

Dans ma feuilles il y a des espaces au dessus dea sommes mais je crois que c'est une mauvaise impression et qu'il y a soit un - soit un + je penche un peu plus sur le -!
Pour la 1 comment on détermine la raison ? Le nombre de therme c'est n-1 ?  Enfin si l'espèce correspond à un -

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 15:05

\sum_{k=0}^{n-1} w_n^k est simplement une NOTATION pour dire w_n^0+w_n^1+w_n^2+...+w_n^{n-2}+w_n^{n-1}.

Il s'agit d'une somme de n termes (il y en a n-1 de l'exposant 1 à l'exposant n-1 auquel il faut ajouter le premier d'exposant 0).

Tu as donc 1+q+q^2+...+q^{n-1}.

C'est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q = e^{2i\pi/n} \neq 1.

Donc \sum_{k=0}^{n-1} w_n^k = \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{1-(e^{2i\pi/n})^n}{1-e^{2i\pi/n}}= \frac{1-e^{2i\pi}}{1-e^{2i\pi/n}}=0 car e^{2i\pi}=1.

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 15:41

Merci oui je vois !  
Donc pour la deuxième cest les produits des n premiers termes ? Je peux dire ça par logique mais je sais pas comment l'appliquer en une formule.
A pars que (n-1k=0) wn = e(2i)/1 × e(2i)/2x...xe(2i)/ (n-1)   
Mais je vois pas ce que je peux faire avec ça si c'est ça et que j'ai bien compris

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 15:48

Attention, la somme se fait sur k et non sur n.

Le n du dénominateur dans l'exponentielle est toujours n. C'est l'exposant qui est différent :

\prod_{k=0}^{n-1}w_n^k=w_n^0\times w_n^1\times w_n^2\times ... \times w_n^{n-1}.

Remplace w_n par son expression et utilise le fait que le produit d'exponentielles est égale à l'exponentielle du produit

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 16:04

Oui alors !
(n-1k=0) wnk = e (2i)/n1x e(2i)/n2x...xe(2i) nk-1 = e(2i)/n + 2x (2i)/n+...+( k-1)×(2i)/n ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:14

Le dernier terme a pour exposant n-1 et non pas k-1 : attention aux confusions entre n et k.

\prod_{k=0}^{n-1}w_n^k=w_n^0\times w_n^1\times w_n^2\times ... \times w_n^{n-1}=(e^{2i\pi/n})^0\times (e^{2i\pi/n})^1\times (e^{2i\pi/n})^2\times ... \times (e^{2i\pi/n})^{n-1}=e^{0\times 2i\pi/n}\times e^{1\times 2i\pi/n}\times e^{2\times 2i\pi/n}\times ...\times e^{(n-1)\times 2i\pi/n}=e^{(0+1+2+...+n-1)2i\pi/n}

Or que vaut 0+1+2+...+n ?

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 16:17

La somme des k premier terme ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:18

Que vaut la somme des n+1 premiers entiers naturels, oui ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:19

Pardon, il fallait écrire 0+1+2+...+(n-1). Il y a donc n termes : les n premiers entiers naturels.

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 16:21

Ça fait n-1k=0 n2/ 2 ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:26

0+1+2+...+(n-1)

Il s'agit de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0 : (nombre de termes)*(premier terme + dernier terme)/2.

Nombre de termes : n

Premier terme : 0

Dernier terme : n-1

D'où 0+1+2+...+(n-1) = n \times \frac{0 + (n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} qui est un résultat que tu as déjà dû rencontrer et qu'il vaut mieux connaitre.

Du coup, qu'obtiens-tu au final pour T_n ?

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 16:34

La somme des n premier thermes c'est n (n+1) /2 non ? Du coup n-1 =n (n)/2 =  n2/2  je comprends pas la ...

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:38

J'ai inclus le 0, donc c'est pour ça qu'il y a n termes.

Mais vu que 0+1+2+...+(n-1) = 1+2+...+(n-1), on peut aussi dire que c'est la somme des (n-1) premiers entiers (sous-entendu à partir de 1).

Et, en effet, la somme des n premier termes (thermes ce sont les bains...) est égale à n(n+1)/2.

Mais, vu qu'ici il s'agit des (n-1) premiers, on a (n-1)n/2. C'est bon ?

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 16:43

Oui donc si je suis bien somme avec k= 0 c'est la même chose des k=1  oui c'est bon !

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 16:44

Du coup Tn= 0 ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:45

Vu que tu ajoutes 0, oui c'est pareil de partir de k=0 ou de k=1

Qu'obtiens-tu comme résultat pour T_n du coup ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 16:46

Non, pas 0. Qu'obtiens-tu quand tu remplaces la somme par son expression dans l'exponentielle ?

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 17:00

Lexpodentiel de cette somme sur n donc n-1

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 17:01

Ah non 2 seconde je dis des bêtise la

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 17:03

(n-1)/2?

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 17:05

e(n-1)/2

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 17:07

Où est passé le facteur 2i\pi ?

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 17:14

Ah oui exact e(n-1) 2i / 2

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 17:16

Les 2 se simplifient, d'où T_n = e^{(n-1)i\pi}.

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 17:30

Oui ! Merci ! C'est déjà un bon début ! J'ai compris la somme est le produit ! Merci klux !
Mais en ce qui concerne cette exercice je ne pense pas pouvoir le finir quand je vois la réflexion qu'il faut avoir pour les deux premieres question et la suite des questions il me demande  quel relation existe t il entre wnk et 1 / wnk alord qu'on a simplement pris l'inverse la valeur de Un serait l'inverse de ce qu on a trouvé dans la valeur de Sn soit 1/ Sn  mais Sn = 0 ...
Après il nous demande de calculer une somme et d'en déduire des inégalité  et la total pour ma de vérifié pour tout k je sais que quand je vérifie pour tout n je fais une récurrence pour tout k je pense qje ça doit Être le même principe mais je comprends pas en tout cas les définition des sommes et produits que j'ai maintenant avec les deux premières questions je vois pas comment elles peuvent m'aider
..

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 01-12-13 à 18:30

Quelqu'un pourrait m'aider pour la réalisation qui existe entre wnk et 1/wnk ??

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 22:53

\frac{1}{w_n^k}=\frac{1}{e^{2ik\pi/n}=e^{-2ik\pi/n}=w_n^{-k}

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{w_n^k}=\sum_{k=0}^{n-1} w_n^{-k}=0 en raisonnant comme pour S_n (somme d'une suite géométrique).

P.S. : Dans U_n, la somme commence-t-elle à 0 ou à 1 ?

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 22:53

\frac{1}{w_n^k}=\frac{1}{e^{2ik\pi/n}}=e^{-2ik\pi/n}=w_n^{-k}

Posté par
kluxre : Somme et produit. 01-12-13 à 23:04

Il n'y a aucune récurrence à faire dans cet exercice

\sum_{k=0}^{n-1} a+bw_n^k=\sum_{k=0}^{n-1}a+b\sum_{k=0}^{n-1}w_n^k=na+bS_n=na car S_n=0.

Donc |na| = \left|\sum_{k=0}^{n-1}a+bw_n^k\right|, puis n|a| \le \sum_{k=0}^{n-1} |a+bw_n^k| d'après l'inégalité triangulaire.

Rappel : |z+z'| \le |z|+|z'| et, plus généralement, \left|\sum_{k=0}^{n-1}z_k\right| \le \sum_{k=0}^{n-1} |z_k|.

Posté par
rivyn69200re : Somme et produit. 02-12-13 à 01:12

Merci klux ... j'essaierai de comprendre demain la je suis trop fatigué

Posté par
kluxre : Somme et produit. 02-12-13 à 07:35

Citation :
on a simplement pris l'inverse la valeur de Un serait l'inverse de ce qu on a trouvé dans la valeur de Sn soit 1/ Sn


Attention : la somme des inverses n'est pas égale à l'inverse de la somme !

Exemple avec deux termes : 1 + 2 = 3 et 1/1 + 1/2 = 3/2 qui n'est pas la même chose que 1/3 !


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