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Somme et suites

Posté par
yous 14-12-08 à 15:01

Bonjour,
Voilà mon probléme: Soit Hn=(de k=1 à n)1/k
Démontrer que: Pour tout (m,n)² (de m parmis k)Hk=(m+1 parmis n+1)(Hn+1-1/(m+1))

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:08

Bonjour,

Il manque des parenthèses.

Je comprends 3$H_n=\Bigsum_{1\le k\le n}\frac{1}{k}

Il faut montrer que :
3$\Bigsum_{\fbox{???}\le k\le \fbox{???}}{k\choose m}H_k={n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right)

Est-ce bien cela ?

Par quoi remplacer les ???

C'est bien 3${k\choose m} et non pas 3${m\choose k} ?

Nicolas

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 16:17

La somme Hk est de 1 à n et tu as raison c'est k parmis m

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:18

Il faut donc montrer que :
3$\Bigsum_{1\le%20k\le%20n}{m\choose%20k}H_k={n+1\choose%20m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right) ?

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 16:21

Non excuse moi c'est bien m parmis k

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:22

Il faut donc montrer que :
3$\Bigsum_{1\le%20k\le%20n}{k\choose%20m}H_k={n+1\choose%20m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right) ?

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 16:23

Oui tout a fait

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:26

Ce n'est pas possible.
Pour k=1, il intervient un "m parmi 1". Cela n'a pas de sens.
L'énoncé est-il écrit sous forme de C_n^k ? Si oui, qui est en haut ? qui est en bas ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:26

Et ne suppose-t-on pas m >= n ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:28

Je veux bien t'aider, mais poste un énoncé complet et juste, STP.

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 16:29

non dans il y a bien la forme que tu as écrit et on suppose juste que (m,n)²

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 16:30

Prends m=5.
Le premier terme derrière la somme à gauche est : 3${1\choose 5} ?
Cela n'a pas de sens...

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 16:34

Certe mais c'est l'enoncé tel que je l'ai eu.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 19:30

En tâtonnant, il me semble que la bonne formule est :
3$\Bigsum_{\fbox{m\le%20k\le%20n}}{k\choose%20m}H_k={n+1\choose%20m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right)
Qu'en penses-tu ?

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 19:49

J'ai essayé de trouver avec ta formule mais je n'y arrive pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 19:51

Procède par récurrence sur n.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 19:57

On cherche donc à montrer :
3$\forall n\ge m\ge 0,\quad \Bigsum_{m\le k\le n}{k\choose%20m}H_k={n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right)

Fixons m et procédons par récurrence sur n.

Initialisation : quand n=m >> c'est facile, je te laisse faire

Hérédédité :

On suppose 3$\Bigsum_{m\le k\le n}{k\choose m}H_k={n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right) (*)

On veut montrer que 3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k={n+2\choose m+1}\left(H_{n+2}-\frac{1}{m+1}\right)

Partons donc du membre de gauche, en isolant le dernier terme :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k=\Bigsum_{m\le k\le n}{k\choose m}H_k+{n+1\choose m}H_{n+1}

On utilise l'hypothèse de récurrence (*) :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right)+{n+1\choose m}H_{n+1}

On regroupe les 3$H_{n+1} :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = \left\{{n+1\choose m+1}+{n+1\choose m}\right\}H_{n+1} - {n+1\choose m+1}\frac{1}{m+1}

On applique la relation du triangle de Pascal :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}H_{n+1} - {n+1\choose m+1}\frac{1}{m+1}

On fait apparaître 3$H_{n+2} :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}\left(H_{n+2}-\frac{1}{n+2}\right) - {n+1\choose m+1}\frac{1}{m+1}

On développe :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}H_{n+2} - {n+2\choose m+1}\frac{1}{n+2} - {n+1\choose m+1}\frac{1}{m+1}

Or 3${n+1\choose m+1}=\frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}=\frac{n+1-m}{n+2}\frac{(n+2)!}{(m+1)!(n+1-m)!}=\frac{n+1-m}{n+2}{n+2\choose m+1}

Donc :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}H_{n+2} - {n+2\choose m+1}\frac{1}{n+2} - \frac{n+1-m}{(m+1)(n+2)}{n+2\choose m+1}

On met ce que l'on souhaite obtenir, 3${n+2\choose m+1}\frac{1}{m+1} en facteur :
3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}H_{n+2} - {n+2\choose m+1}\frac{1}{m+1}\left(\frac{m+1}{n+2} +\frac{n+1-m}{n+2}\right)

3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}H_{n+2} - {n+2\choose m+1}\frac{1}{m+1}\times\frac{n+2}{n+2}

3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}H_{n+2} - {n+2\choose m+1}\frac{1}{m+1}

3$\Bigsum_{m\le k\le n+1}{k\choose m}H_k = {n+2\choose m+1}\left(H_{n+2} - \frac{1}{m+1}\right)

Ceci termine la démonstration par récurrence.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
yousre : Somme et suites 14-12-08 à 19:59

Merci beaucoup de ton aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Somme et suites 14-12-08 à 20:01

Je t'en prie.

Posté par
jeansebre : Somme et suites 15-12-08 à 08:30

Chapeau, Nicolas!

Ce n'est plus de la patience, c'est de l'abnégation!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Somme et suites 15-12-08 à 14:24

Bonjour à tous ;

On peut généraliser le coefficient binomial C_{p}^{q} à tout couple d'entiers naturels en convenant qu'il est nul si q>p.

D'où , en posant H_0=0 , on peut écrire pour tout couple (m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^* ,

3$\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n}C_{k}^{m}H_k=\Bigsum_{k=0}^{n}\left(C_{k+1}^{m+1}-C_{k}^{m+1}\right)H_k=\Bigsum_{k=0}^{n}C_{k+1}^{m+1}H_k-\Bigsum_{k=0}^{n}C_{k}^{m+1}H_k\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\Bigsum_{k=1}^{n+1}C_{k}^{m+1}H_{k-1}-\Bigsum_{k=0}^{n}C_{k}^{m+1}H_k=C_{n+1}^{m+1}H_n+\Bigsum_{k=1}^{n}C_{k}^{m+1}\left(H_{k-1}-H_k\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=C_{n+1}^{m+1}H_n-\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}C_{k}^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}H_n-\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{m+1}C_{k-1}^{m}=C_{n+1}^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}\Bigsum_{k=0}^{n-1}C_{k}^{m}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=C_{n+1}^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left(C_{k+1}^{m+1}-C_{k}^{m+1}\right)=C_{n+1}^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}C_{n}^{m+1}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=C_{n+1}^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}C_{n+1}^{m+1}\frac{n-m}{n+1}=C_{n+1}^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}C_{n+1}^{m+1}\left(1-\frac{m+1}{n+1}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=C_{n+1}^{m+1}\left(H_{n+1}-\frac{1}{m+1}\right)} sauf erreur bien entendu

remarque : identité encore valable pour n=0


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