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Somme majorée

Posté par
Usopp01 18-03-10 à 18:39

Bonjour, je cherche la démonstration la plus concise pour prouver que la somme de 1 à n des 1/k^2 est majorée.
Car j'en connais une mais (je trouve) moche par l'absurde.
Merci.

Posté par
nevesre : Somme majorée 18-03-10 à 18:47

par l'absurde et reposant sur \frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} et les termes se télescopent.

Posté par
nevesre : Somme majorée 18-03-10 à 18:51

ou si tu es optimiste, majoration par série-intégrale...

@+

Posté par
Usopp01re : Somme majorée 18-03-10 à 19:02

Comment vous untiliser cette inégalité pour la preuve par l'absurde?

Posté par
Usopp01re : Somme majorée 18-03-10 à 19:02

QU'entendez vous par "se telescopent"?

Posté par
verdurinre : Somme majorée 18-03-10 à 19:03

Bonsoir,
Si k>1 alors

3$\frac1{k^2}< \int_{k-1}^{k}{\frac1{t^2}\text{d}t}

d'où

3$\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}=1+\sum_{k=2}^n\frac1{k^2}\;<\;1+\sum_{k=2}^n\int_{k-1}^{k}{\frac1{t^2}\text{d}t}

or

3$\sum_{k=2}^n\int_{k-1}^{k}{\frac1{t^2}\text{d}t}= \int_{1}^{n}{\frac1{t^2}\text{d}t}=1-\frac1{n}

donc

3$\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\;<\;2-\frac1{n}\;<\;2

Posté par
nevesre : Somme majorée 18-03-10 à 19:05

\sum_k (\frac{1}{k^2}) \le \sum_k (\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=1-\frac{1}{n} (indexation de 1 à n), c'est le terme d'une suite convergente donc bornée. ok ?

Posté par
Usopp01re : Somme majorée 18-03-10 à 19:08

Ah ok j'avais pas compris ce terme, je savais pas qye cela s'appelait téléscoper.
Merci!

Posté par
Usopp01re : Somme majorée 18-03-10 à 19:09

Et merci verdurin pour cette preuve plus classe je trouve, c"tait le but de ma question au départ^^

Posté par
nevesre : Somme majorée 18-03-10 à 19:11

Citation :
c"tait le but de ma question au départ^^


pourtant :

Citation :
je cherche la démonstration la plus concise [...]


je doute que l'on puisse faire plus "simple" que par majoration élémentaire enfin bref

@+

Posté par
verdurinre : Somme majorée 18-03-10 à 19:17

Citation :

Et merci verdurin pour cette preuve plus classe je trouve, c'était le but de ma question au départ^^

Je ne suis pas certain que ma preuve soit <<plus classe>> que celle de neves, en fait je pense même le contraire, mais elle est plus facile à rédiger...

Posté par
Usopp01re : Somme majorée 18-03-10 à 19:18

Ce sont les intégrales qui m'ont fait pencher sur celle la, mais c'est vrai l'autre est plus concise.
Je doute maintenant.

Posté par
verdurinre : Somme majorée 18-03-10 à 19:19

Le doute est le commencement de la sagesse.


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